Matematické Fórum

Edit: původní zadání a řešení je ze vzorových řešení korespondenčního semináře, ročník 2017/2018
https://sites.google.com/riesky.sk/prac … ie%C5%A1ky
z archivu:

Dobrý, vedel by mi niekto v následujúcej úlohe vysvetliť prečo rovnicu upravujeme do tvaru (R−k)(S −l) = m


Zadanie: Paľonardo vie, že v kráľovskom amfiteáteri musia byť všetky stoličky usporiadané do niekoľkých zarovnaných radov s rovnakým počtom stoličiek a teda musia tvoriť obdĺžnik. Musí na ne vedieť usadiť dámy a pánov nasledovne. V každom rade bude presne 14 pánov. V každom stĺpci bude presne 10 dám. Práve 3 stoličky budú prázdne. Ukážte, že stoličiek budú potrebovať najmenej 567. Riešenie: V prvom rade si uvedomme, čo znamená ukázať, že stoličiek budú potrebovať najmenej 567. Znamená to dokázať, že stoličiek nemôže byť menej ako 567 tak aby to vyhovovalo zadaniu. Neznamená to nájsť riešenie pre 567 stoličiek. Označme počet radov ako R a počet stĺpcov ako S. Kedže stoličky sú usporiadané v obdĺžniku, ich počet bude R·S. Počet pánov celkovo je 14R nakoľko ich je v každom rade 14, počet dám je podobným odvodením 10S a prázdne zostanú 3 stoličky. Preto pre počet stoličiek platí nasledujúca rovnica:
10S + 14R + 3 = RS (1)
Našim cieľom je zistiť pre aké dvojice R a S má zadanie riešenie. Následne budeme schopní vypočítať a nájsť najmenší súčin RS, teda počet stoličiek. Rovnicu 1 sa budeme snažiť upraviť do tvaru: (R−k)(S −l) = m (2) kde k, l a m sú čísla. Všimnime si, že ak roznásobíme zátvorky, dostaneme RS−lR−kS+kl. Z toho môžeme konštatovať l = 14, kedže v rovnici 1 je R násobené 14 a k = 10, nakoľko je S násobené 10. Násobok kl = 140 je o 3 menší ako m, takže m = 143. Pre lepšiu prehľadnosť si to vieme z rovnice 1 zapísať nasledovne: RS −14R−10S = 3 Z čoho odvodíme pripočítaním kl:
RS −14R−10S + kl = 3 + kl Ale naspäť k riešeniu. Rovnicu 2 sme upravili do tvaru: (R−10)(S −14) = 143 (3) Využijeme poznatok prvočíselného rozkladu čísla 143 = 11·13. Aby súčin zátvoriek v rovnici 3 bol rovný 143, musí nastať jeden z nasledujúcich štyroch prípadov: 1. (R−10) = 1 a (S −14) = 143 2. (R−10) = 11 a (S −14) = 13 3. (R−10) = 13 a (S −14) = 11 4. (R−10) = 143 a (S −14) = 1 V prvom prípade sa R = 11 a S = 157, v druhom R = 21 a S = 27, v treťom R = 23 a S = 25, a v poslednom štvrtom R = 153 a S = 15. Toto sú všetky možnosti počtu radov a stĺpcov v amfiteátri. V jednotlivých prípadoch bude počet stoličiek, teda RS: 1. 11·157 = 1727 2. 21·27 = 567 3. 23·25 = 575 4. 153·15 = 2295 Kedže v druhom prípade je počet stoličiek najmenší, bude to minimálny počet stoličiek. Ten je 567, čím sme dokázali, že v kráľovskom amfiteátri budú potrebovať najmenej 567 stoličiek.