Matematické Fórum

qwjeta · 01. 06. 2009 09:08

Ahojky,
potřebuji trošku helfnout s úlohou na vektory.
Př.: V rovině je dán trojúhelník PQR, P=[-1;-1], Q=[1;-6], R=[1;3] a určete jeho obsah.

Velikost stran trojúhelníka si vypočtu podle velikosti jednotlivých vektorů a vyšlo mi:
PQ=(2;-7), QR=(0;9), RP=(-2;-2).
Velikosti pak: PQ= $\sqrt{53}$ , QR=9, RP= $2\sqrt{2}$

Problém je s tím obsahem. Nemůžeme mít kalkulačku a potřebuji přijít na obsah trojúhelníka. Když si budu počítat výšku vyjde mi dost hrůza už ten úhel, pomocí, kterého ji počítám, takže tady bez kalkulačky nehnu a přes Heronův vzorec už vůbec.
Neznáte nějaký jednodušší postup pro výpočet, kde si vystačím s tužkou a papírem??
Díky

Cheop · 01. 06. 2009 10:25 — Editoval Cheop (01. 06. 2009 11:49)

↑ qwjeta:
Když si to dáš do kartézské soustavy souřadnic pak budeš vidět,
že výška na stranu RQ = 2 čili obsah bude:
$S=\frac{2\cdot 9}{2}=9\,\textrm{cm^2}$

PS: Ověřeno výpočtem obsahu přes Heronův vzorec.
Obrázek:

gadgetka

$\vec{s_{PQ}}=Q-P=(2;-5)\nl\vec{s_{QR}}=R-Q=(0;9)\nl\vec{s_{RP}}=P-R=(-2;-4)$

$|PQ|=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\nl|QR|=\sqrt{81}=9\nl|RP|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$

namaluj si trojúhelník do kartézské soustavy a uvidíš, že $v_p=2$ , odtud: $\frac{9\cdot 2}{2}=9(j^2)$

Cheop · 01. 06. 2009 11:14 — Editoval Cheop (01. 06. 2009 11:14)

↑ gadgetka:
Jen malá chybka
$|RP|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$

qwjeta · 01. 06. 2009 12:21

jo super, to mi nenapadlo, stále hledám způsob jak to vypočíst a ono stačí juknout do obrázku.
Díky moc

Cheop · 01. 06. 2009 13:09 — Editoval Cheop (01. 06. 2009 13:53)

↑ qwjeta:
Ono obrázek u těchto typů příkladů bývá základ.
Když si ten obrázek nakreslíš, tak délky stran nemusíš ani počítat přes vektory,
ale stačí ti k tomu Pythagorova věta. (I když vlastně výpočet délky vektoru je také věta starého Pythagora)
PS : Mezi námi Tvůj výpočet délek stran byl ze 2/3 špatně.

gadgetka · 01. 06. 2009 15:09

↑ Cheop:

díky, asi se vrátím do první obecné :)

Olin · 01. 06. 2009 15:39

Já to vidím tak, že toto je úloha na vektorový součin… Libovolné dva vektory vektorově vynásobím a polovina velikosti výsledného vektoru je hledaný obsah.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2009 09:08

Vektory

#2 01. 06. 2009 10:25 — Editoval Cheop (01. 06. 2009 11:49)

Re: Vektory

#3 01. 06. 2009 10:38 — Editoval gadgetka (01. 06. 2009 15:08)

Re: Vektory

#4 01. 06. 2009 11:14 — Editoval Cheop (01. 06. 2009 11:14)

Re: Vektory

#5 01. 06. 2009 12:21

Re: Vektory

#6 01. 06. 2009 13:09 — Editoval Cheop (01. 06. 2009 13:53)

Re: Vektory

#7 01. 06. 2009 15:09

Re: Vektory

#8 01. 06. 2009 15:39

Re: Vektory

Zápatí