Matematické Fórum

Pritt · 30. 09. 2019 15:50 — Editoval Pritt (30. 09. 2019 15:51)

Zdravím,

mám integrál

$\int_{\mathbb{R}}e^{\lambda x}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x, \lambda > 0.$

Integrál zjevně diverguje, ale nenapadá mě způsob, jakým to dokázat.

Díky za každý tip..

krakonoš

$\int_{k}^{\infty }e^{\lambda x}\cdot \frac{1}{1+x^{2}}dx>$ $\int_{k}^{\infty }e^{\lambda x}\cdot e^{-\lambda x}dx$ kde k>0
U mínus nekonečna není problém, limita integrantu je rovna nule, jde o nezápornou funkci, borelovsky měřitelnou, L integrál existuje a je roven N integrálu.

Pritt · 30. 09. 2019 18:22

↑ krakonoš:

Díky za reakci.

Stačí tedy
$\int_{\mathbb{R}}e^{\lambda x}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{0}e^{\lambda x}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x + \int_{0}^{+\infty}e^{\lambda x}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x,$

kde

$\int_{-\infty}^{0}e^{\lambda x}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x > 0$

a

$\int_{0}^{+\infty}e^{\lambda x}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x = +\infty$

z limitního srovnávacího kritéria pro Riemannův integrál a z faktu, že

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{\lambda x}}{1+x^2} = +\infty$ ?

krakonoš

↑ Pritt:
Tady je řeč o Newtonovu integrálu resp. Lenesgueovu integrálu, s Riemannovým to nesouvisí, ten je definován na uzavřeném intervalu. Podstatné je, že nezápornost zaručuje, že integräl od mínus nekonečna do nuly nemůže vyjít mínus nekonečno.Ať už by to bylo konečné číslo či nekonečno, nebude to mít vliv na výsledek.
Diverguje minoranta, tak musí divergovat i zadaný integrál.

Pritt · 30. 09. 2019 18:46 — Editoval Pritt (30. 09. 2019 18:47)

↑ krakonoš:

Není pravda, pro meze v nekonečnu máme zobecněný Riemannův integrál.

Každopádně díky a téma uzavírám.

krakonoš

↑ Pritt:
Ahoj.
Ještě jsem si všimla jednoho detali. Není dobré brát k=0, jak jsi zvolil, protože pro k blízké nule nemusí ještě mít exponenciela větší funkční hodnotu než je jmenovatel zlomku, navíc je tu neznámý parametr lambda. Je lepší uvažovat opravdu o obecném k, kde již exponenciela získala hodnotu větší.Problém není v nerovnosti mezi integrály, i když tam ponecháš tu nulu, nerovnost se projeví i už na tomto intervalu, protože jde o interval nula nekonečno , exponenciela roste velmi rychle, rychleji než libovolná mocnina , zatímco pouze na konečném intervalu exponenciela měla menší hodnotu.Nemůžeš ale napsat, že od nuly je větší ten zlomek než exponenciela. Záleží na tom, jak se to sepíše.Proč to ale komplikovat?Stačí použít obecné k.
O zobecněném Riemannově integrálu jsem ve školle neslyšela, ale vím z internetu , že něco takového existuje.
Měj se hezky.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2019 15:50 — Editoval Pritt (30. 09. 2019 15:51)

konvergence integrál

#2 30. 09. 2019 16:11 — Editoval krakonoš (30. 09. 2019 16:22)

Re: konvergence integrál

#3 30. 09. 2019 18:22

Re: konvergence integrál

#4 30. 09. 2019 18:43 — Editoval krakonoš (30. 09. 2019 18:53)

Re: konvergence integrál

#5 30. 09. 2019 18:46 — Editoval Pritt (30. 09. 2019 18:47)

Re: konvergence integrál

#6 01. 10. 2019 08:43 — Editoval krakonoš (01. 10. 2019 09:44)

Re: konvergence integrál

Zápatí