Matematické Fórum

Tousínek · 03. 10. 2019 11:23

Dobrý den,
na vysoké škole máme takový půlsemestrální úkol a narazil jsem zde na příklad, který nevím jak vyřešit. Důkazy pomocí matematické indukce jsme brali jen pro nekonečné sčítání nebo odčítání. Proto nevím jak vyřešit tento příklad. Samozřejmě jsem proveld ukotvení pro n= 3, ale nějak nemohu dojít na úravu pro případ (n+1). Předem děkuji za pomoc
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/94606_Pozn%25C3%25A1mka%2B2019-10-03%2B112230.png

vlado_bb · 03. 10. 2019 11:35

↑ Tousínek: V indukcnom kroku vyuzi $\frac 1{n+1} < \frac 1n$ .

Ferdish

Ahoj, ak ste už mali definované Eulerovo číslo $\mathrm{e}$ vo forme limity, teda $\lim_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\mathrm{e}$ , tak by sa to dalo použiť...

Tousínek · 03. 10. 2019 11:53

↑ Ferdish:Nene toro jsme ještě nikde nebrali

Tousínek · 03. 10. 2019 11:54

↑ vlado_bb: Ano na to jsem také ještě přišel ze vlastně v závorce vzniká menší a menší číslo, ale vůbec nevím kam by mě to mělo dovézt :D

Ferdish

↑ Tousínek:
Tak pardon že som predbiehal. Ale ak budete preberať limity napr. na kurze matematickej analýzy alebo na iných kurzoch, tak sa k tomu určite dostanete :-)

Tousínek · 03. 10. 2019 11:58

↑ Ferdish:. I tak děkuji za pokus o pomoc :D

vlado_bb · 03. 10. 2019 12:39

↑ Tousínek:Tak potom neviem, v com si mohol mat problem ... napis sem svoj postup, pokial si sa dostal.

Tousínek · 04. 10. 2019 14:08

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/90863_EPSON003.jpg
Toto můj postup... chci se zeptat jestli toto jako důkaz stačí?..... Dělit a násobit s neznámou můžu, protože vím, že je kladná... tak jsem se úpravama dostal ke kroku, který jsem předpokládal na začátku.

Ferdish

Pozor, pre $n=k+1$ je výraz rovný $\left(1+{\frac {1}{k+1}}\right)^{k+1}$ a nie $\left(1+{\frac {1}{k+1}}\right)^{k}$ .

V ďalších krokoch už píšeš tú mocninu správne, ale niektorí učitelia to môžu považovať za chybu, eventuálne za náznak, že zvyšok úlohy bol odniekiaľ opísaný...

Tousínek · 04. 10. 2019 14:40

↑ Ferdish: Super děkuji za upozornění :) A zbytek úlohy si myslíte, že je úvaha správná?

Ferdish · 04. 10. 2019 14:47

Nepríde mi úplne správne, keď sa pri dôkaze MI dopracujem k samotnému indukčnému predpokladu, ale možno kolegovia-matematici ma vyvedú z omylu.

Ja na to môžem pozrieť najskôr až večer, pretože môj coffee break sa práve chýli ku koncu :-).

vlado_bb · 04. 10. 2019 15:53

↑ Tousínek: Technicka poznamka na uvod - preco student vysokej skoly nepouziva LaTeX?

K postupu - ↑ Ferdish: ma pravdu. Nemali sme dokazat induncny predpoklad, kedze jeho platnost PREDPOKLADAME. Uvaha by mala byt asi taka, ze

$\left ( 1+\frac 1{n+1}\right )^{n+1} < \left ( 1+\frac 1{n}\right )^{n+1} = \left ( 1+\frac 1{n}\right )^{n}\left ( 1+\frac 1{n}\right ) < n \left ( 1+\frac 1{n}\right ) = n+1$

V druhej nerovnosti bol vyuzity indukcny predpoklad.

Ferdish

vlado_bb napsal(a):
↑ Tousínek: Technicka poznamka na uvod - preco student vysokej skoly nepouziva LaTeX?

Prekvapuje ma, že sa nad tým pozastavuješ - na tomto fóre to nie je až tak neobvyklý jav.

Na druhú stranu, možno to píše z mobilu. Dnešní mladí ich používajú častejšie než PCčka a notebooky. Mne osobne sa však na malej dotykovej obrazovke píše blbo aj obyčajný text, maximálne píšem iba stručné odpovede a LaTeXovým výrazom za vyhýbam oblúkom, ak sa dá. Mám rád komfort veľkej obrazovky a klávesnice :-)

vlado_bb · 04. 10. 2019 16:33

↑ Ferdish: To je vsetko pravda, ale ak by som niekoho ziadal o pomoc, urobim vsetko pre to, aby som mu poskytnutie pomoci nekomplikoval

Tousínek

↑ vlado_bb: Nikdy jsem LaTeX neměl možnost používat, takže jsem nechtěl zkoušet něco nového, ale tak se pokusím :D stačí teda po úpravách:

.... Po tomto kroku teda určitě platí, že $\left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1}< n+1$
Omlouvám se, pokud působím jako dement :D ale na přednáškách ani ve cviku jsme žádný podobný příklad nedělali, a na netu jak se snažím, nemůžu najít také, žádný vhodný návod.
PS: nevím jestli vidíte ty nerovnice napsané v LaTeXu, proto pod toto pošlu ještě výstřižek těchto nerovnic

Tousínek · 04. 10. 2019 19:23

↑ vlado_bb: //forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/09756_Pozn%25C3%25A1mka%2B2019-10-04%2B192213.png

vlado_bb · 04. 10. 2019 20:20

↑ Tousínek: Cize tvoj zaver je $\left(1 + \frac 1n \right)^{n+1}< n+1$ , to ale nie je to, co sme chceli. Zrejme si si nevsimol, ze som ti sem uz napisal uplne riesenie (druhy indukcny krok). No a samozrejme treba tam este doplnit slovny komentar.

Tousínek · 04. 10. 2019 21:14

↑ vlado_bb: $\left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1} <\left(1 + \frac 1n \right)^{n+1} < n+1$
Můj závěr je takovýto :D Pokud platí nerovnost mezi prostředním s pravým, tak tedy musí platit i nerovnost levé strany s pravou...... Sformuluji to jinak, jde mi jen o to, jestli to stačí :) Nesmírně si vážím vaší pomoci. Moc děkuji

vlado_bb · 04. 10. 2019 21:25

↑ Tousínek: Ano, treba uz len k rieseniu doplnit prislusny slovny komentar.

Tousínek · 06. 11. 2019 18:19

↑ vlado_bb: Rád bych se zeptal.. Dnes mi kamarád říkal že se tato indukce dá řešit metodou: že se podělí levá strana a práva strana prvního indukcniho kroku s levou a pravou stranou indukcniho kroku: respektive že by platilo -
$\frac{Levastarana1}{Levastarana2} <\frac{Pravastarana1}{Pravastarana2}$

Chci se zeptat jestli je toto metoda, která se normálně používá nebo je to úplná blbost?

vlado_bb · 06. 11. 2019 18:26

↑ Tousínek: Bolo by mozne napisat to zrozumitelnejsie?

Tousínek

↑ vlado_bb:První indukční předpoklad:
$\left(1 + \frac 1{n} \right)^{n}< n$
Druhý indukční předpoklad:
$\left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1}< n+1$
Tedy ta vysledná nerovncie by vypadala
$\frac{ \left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1}}{\left(1 + \frac 1{n} \right)^{n}} < \frac{n+1}{n}$

Postupnými úpravami stoho pak výjde -1<0

vlado_bb · 06. 11. 2019 19:40

↑ Tousínek:

$1<2$

$2<100$

Je potom pravda, ze

$\frac 12 < \frac 2{100}$

???

Matematické Fórum

#1 03. 10. 2019 11:23

Důkaz pomocí matematické indukce

#2 03. 10. 2019 11:35

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#3 03. 10. 2019 11:38 — Editoval Ferdish (03. 10. 2019 11:38)

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#4 03. 10. 2019 11:53

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#5 03. 10. 2019 11:54

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#6 03. 10. 2019 11:56 — Editoval Ferdish (03. 10. 2019 11:57)

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#7 03. 10. 2019 11:58

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#8 03. 10. 2019 12:39

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#9 04. 10. 2019 14:08

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#10 04. 10. 2019 14:25 — Editoval Ferdish (04. 10. 2019 14:26)

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#11 04. 10. 2019 14:40

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#12 04. 10. 2019 14:47

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#13 04. 10. 2019 15:53

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#14 04. 10. 2019 16:21 — Editoval Ferdish (04. 10. 2019 16:22)

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

vlado_bb napsal(a):

#15 04. 10. 2019 16:33

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#16 04. 10. 2019 19:17 Příspěvek uživatele Tousínek byl skryt uživatelem Tousínek. Důvod: nečitelnost LaTeX obrázku

#17 04. 10. 2019 19:22 — Editoval Tousínek (06. 11. 2019 18:24)

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#18 04. 10. 2019 19:23

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#19 04. 10. 2019 20:20

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#20 04. 10. 2019 21:14

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#21 04. 10. 2019 21:25

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#22 06. 11. 2019 18:19

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#23 06. 11. 2019 18:26

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#24 06. 11. 2019 19:17 — Editoval Tousínek (06. 11. 2019 19:34)

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#25 06. 11. 2019 19:40

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

Zápatí