Matematické Fórum

theterka14 · 05. 10. 2019 12:57

Ahoj, může mi prosím někdo vysvětlit proč u prvního příkladu, je možné udělat z $- \infty$ nakonec $+\infty$ ?

1) $lim _{x \Rightarrow - \infty }$ $In (3x^{2} - 3)$

Vím, že z mínus nekonecno vznikne plus, když dám to x^2 do zavorky.

Ale proč tedy u tohoto příkladu to tak nejde? Proč mě zde prvně vznikne $0^{+}$ a poté $-\infty$ ?

2) $lim _{x\Rightarrow 1-}$ $In (3x^{2}-3)$

Proč zde také nejde dát $-\infty$ do zavorky, což by vzniklo $+\infty$ ?

Děkuji!

Ferdish · 05. 10. 2019 14:06

Máte limitu $\lim_{x\to-\infty }\ln (3x^{2} - 3)$ . Poďme si to rozobrať postupne tak, ako sme si to minule povedali...najprv si vyšetríme definičný obor funkcie.

Argument logaritmu musí byť kladný, teda $3x^{2} - 3>0$ , čo nám dá množinu definičného oboru $D(f)=(-\infty ;-1)\cup (1;\infty )$ . Predpokladám, že so mnou súhlasíte. Počkám na Vašu odpoveď.

vlado_bb · 05. 10. 2019 14:12

↑ theterka14: Dve technicke pomocky:

a \to b sa zobrazi ako $a \to b$

\ln sa zobrazi ako $\ln$ .

theterka14 · 05. 10. 2019 14:30

Ano, po výpočtu bych řekla, že $D (f) = (-\infty , -1) \bigcup_{}^{} (1, \infty )$

Jak budeme tedy prosím dál postupovat?
Je rozdíl, když v prvním je $In$ mimo závorku a v druhém příkladu je $In$ v závorce?

theterka14 · 05. 10. 2019 14:32

↑ vlado_bb: děkuji za radu! To jsem nevěděla, jak udělat

Jak prosím se udělá, aby to $x$ bylo pod $lim$ ? Já to mám jakoby vedle.

vlado_bb

↑ theterka14:

\lim_{x \to a} f(x) sa zobrazi ako $\lim_{x \to a} f(x)$

Tvoj problem bol v tom, ze si napisala lim a nie \lim. Ked napises \lim, tak LaTeX vie, ze ide o limitu a da to s tou sipkou dolu. Ak ale napises iba lim, pre LaTeX je to sucin $l$ krat $i$ krat $m$ , no a to $m$ ma akysi dolny index. Preto to mas tak vpravo.

theterka14 · 05. 10. 2019 14:40

↑ vlado_bb: děkuji, super!

Ferdish · 05. 10. 2019 15:41

Pri písaní vzorcov je vhodné využiť náhľadové okienko editora, ktoré ukazuje, ako bude finálny výraz reálne vyzerať.
Tlačítkom "Zkopírovat do pole vlevo" sa dá následne výraz umiestniť do príspevku na miesto, kde máte umiestnený kurzor.

Ale späť k príkladu $\lim_{x\to -\infty}\ln (3x^{2} - 3)$

Zistíme, čo spraví s výrazom v argumente, keď pošleme $x \to -\infty$ .
Je to kvadratická funkcia a koeficient pred kvadratickým členom $x^2$ je trojka, čo je kladné číslo, takže ramená grafu kvadratickej funkcie (parabola) budú smerovať nahor.
Takže úvaha, že argument pôjde do plus nekonečna je správna.

Teraz prejdeme k logaritmu. Predošlou operáciou sme poslali argument do nekonečna, takže našu pôvodnú limitu si tak vieme jednoducho upraviť. Ak si označíme argument $3x^2-3\equiv \alpha$ , celú pôvodnú limitu si tak môžeme prepísať do tvaru

$\lim_{\alpha \to\infty }\ln \alpha$

$\alpha \to +\infty$ preto, lebo $\alpha$ je náš pôvodný argument $3x^2-3$ , o ktorom vieme že ide do plus nekonečna pre prípad $x\to -\infty$ .
Skrátka si nahradíme (substituujeme) jednu premennú druhou, no musíme vždy zohľadniť aj to, do ktorého bodu sa s novou premennou musíme limitne blížiť tak, aby to presne zodpovedalo starej premennej.
V prípade, že pracujeme s jednostrannými limitami, musíme pri substitúcii vedieť správne určiť aj smer približovania.

A keď už sme v riešení absolútne bezradní, tak prichádza na rad príslovie "lepšie raz vidieť ako 100x počuť/čítať".
V súčasnosti je na internete kopu stránok obsahujúcich applety, ktoré dokážu vykresliť graf takmer ľubovoľnej funkcie. Samozrejme, človek ju musí vedieť aj správne do programu zapísať :-)
Na grafe človek hneď vidí, aký má funkcia definičný obor, obor hodnôt a vôbec celkový priebeh, takže človek hneď vidí, kam tie funkčné hodnoty smerujú. Avšak aj keď môžeme takto vidieť funkciu na vlastné oči, k riešeniu jej limity v nejakom konkrétnom bode musíme stále vedieť dospieť analyticky...
Z mne známych stránok môžem doporučiť Desmos, GraphSketch alebo RECHNERonline. Chce to trochu cviku, ale ide to. Na správne fungovanie treba mať aktivovaný/povolený JavaScript - ak ho nemáte a neviete ho aktivovať sama, poproste o pomoc niektorého zo svojich kolegov-študentov, iste vám pomôžu.

Predpokladám, že vyššie uvedená limita s alfou už nebude predstavovať problém...v prípade že niečo z toho čo som povedal nebolo jasné alebo zrejmé, tak prosím o spätnú väzbu.

theterka14 · 05. 10. 2019 19:02

Teď jsem se do toho trochu zamotala, takže mi to vlastně určí to číslo 3? Že z grafu vyctu, že to jde do $+\infty$ ?
Trochu to nechápu, když bych to chtěla normálně vypočítat, tak jak by to vypadalo?
Přece u toho druhého příkladu, je take za zavorkou $3 x^{2}$ a také.bych si mohla říct, že $3$ směřuje k nekonecnu.

Děkuji

theterka14 · 05. 10. 2019 19:06

$(3x^{2} - 3) = (3×(-\infty )^{2}-3) = +\infty$

Já jsem si myslela že by to mohlo být takto po dosazeni. Nebo to mám špatně?

theterka14 · 05. 10. 2019 19:07

Ale v tom případě by přece i ten druhý příklad směřoval k $+ \infty$ , jelikož by v závorce bylo $(-\infty )^{2}$

Díky za objasnění, co tedy je blbě. ↑ Ferdish:
A děkuji za typy na stránky..

Ferdish · 05. 10. 2019 19:18

Ale vy tú kvadratickú funkciu máte VNÚTRI logaritmu predsa! A kam ide hodnota prirodzeného logaritmu $\ln x$ , ak $x \to+\infty$ ???

theterka14 · 05. 10. 2019 19:21

Do $-\infty$ ?

Teď nechápu.... nebo já nevidím rozdíl v těch dvou příkladech.

Ferdish

On je totiž veľký rozdiel medzi zápisom $\lim_{x\to -\infty}3x^{2} - 3$ prípadne presnejšie $\lim_{x\to -\infty}(3x^{2} - 3)$ a zápisom $\lim_{x\to-\infty }\ln (3x^{2} - 3)$ .

Tie písmenká $\ln$ tam nie sú len tak - značia istý typ funkce, konkrétne logaritmickú funkciu zvanú prirodzený logaritmus. Prosím doštudovať.

theterka14 · 05. 10. 2019 19:32

Ano, tam jsem teď zapomněla do zápisu napsat $In$ , to se omlouvám, ale má otázka je pořád stejná.

Nechápu, jaký je v těch dvou příkladech rozdíl, u obou jsou logaritmy, první má vyjít $+\infty$ a druhý $-\infty$ . Jak byste to zapsal vy prosím? Nebo jak byste postupoval, abyste se dostal k výsledku? Pořád nad tím přemýšlím, ale nevím..

Ferdish · 05. 10. 2019 19:40

↑ theterka14:
Skúste si tú funkciu hodiť do jedného z tých grafických editorov, na ktoré som dal odkaz. A uvidíte aj sama, kam tá funkcia pôjde ak x pôjde do záporného nekonečna a keď pôjde k jedničke ZĽAVA.

theterka14 · 05. 10. 2019 19:44

To musím zkusit na počítači, kam se dostanu až zítra :-/ mě spíš šlo o to, jak se k tomu výsledku dostanu při počítání.

Ferdish

1. K akej hodnote sa blíži výraz $3x^{2} - 3$ ak $x\to1$ ? (zatiaľ nebudeme uvažovať smer približovania)

2. Keď hodnotu z otázky č. 1 dosadíme do logaritmu, čo dostaneme? Je logaritmus pre túto hodnotu definovaný?

3. K akej hodnote sa blíži výraz $3x^{2} - 3$ ak $x\to1-$ , teda zľava? Blíži sa k tejto hodnote zo záporných hodnôt (zdola) alebo z kladných (zhora)? A aký to má význam pre hodnotu/limitu nášho logaritmu v tomto bode? (presne to isté sme včera na tomto istom konkrétnom príklade rozoberali...)

theterka14 · 05. 10. 2019 19:59

1) teď přesně nevím, na co se mě ptáte? No měl by se blizit k $0+$

3) pokud počítám s $-1$ , tak by to mělo vyjít stejně jako u $1$ , nebo vážně nevím. Nevím, jak to mám spočítat a zjistit.

theterka14 · 05. 10. 2019 20:05

Vůbec nevím, jak začít počítat.

Vím, že když zde je logaritmus a $x\Rightarrow 1$ nebo i třeba $-1$ , tak že to půjde do $-\infty$

Ferdish · 05. 10. 2019 20:38

Tak teraz som už zmätený aj ja...riešime stále príklad č.1 (limita x do mínus nekonečna) alebo č.2 (limita x do jedničky zľava)?

theterka14 · 05. 10. 2019 20:53

No, ten poslední komentář patří k tomu příkladu 2

Právě jsem z toho také zmatená. Nevím, jak mám dále postupovat.

Ferdish · 05. 10. 2019 21:01

Tie body, ktoré som napísal o 4 príspevky vyššie, sú len trochu inak podaný rozsiahly text, čo som písal popoludní...vážne nie ste schopná samostatne (byť po častiach) postupovať podľa toho návodu? Však funkcia je taká istá ako v príklade č. 1, len počítame limitu v inom bode...

theterka14 · 05. 10. 2019 21:23

Bohužel jsem se do toho zamotala a vážně nevím, jak dál pokračovat. To nevadí, nechci Vás zbytečně otravovat mym nechspanim. Zkusím si domluvit doučování, snad to pomůže.

vlado_bb · 05. 10. 2019 21:37

↑ theterka14: Obavam sa, ze ani ten najlepsi doucovatel by ti nenavrhol nic ine ako ↑ Ferdish: Skus este raz a zamysli sa iba nad jeho prvou otazkou, nad nicim inym. Neisto si sice napisala, ze limita je akesi $0+$ , ale na ciselnej osi nic take ako $0+$ neexistuje. Skusis este raz? A iba tu prvu otazku. Nic ine.

Matematické Fórum

#1 05. 10. 2019 12:57

Limity - nekonecno, - nekonecno

#2 05. 10. 2019 14:06

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#3 05. 10. 2019 14:12

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#4 05. 10. 2019 14:30

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#5 05. 10. 2019 14:32

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#6 05. 10. 2019 14:37 — Editoval vlado_bb (05. 10. 2019 14:44)

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#7 05. 10. 2019 14:40

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#8 05. 10. 2019 15:41

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#9 05. 10. 2019 19:02

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#10 05. 10. 2019 19:06

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#11 05. 10. 2019 19:07

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#12 05. 10. 2019 19:18

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#13 05. 10. 2019 19:21

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#14 05. 10. 2019 19:27 — Editoval Ferdish (05. 10. 2019 19:29)

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#15 05. 10. 2019 19:32

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#16 05. 10. 2019 19:40

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#17 05. 10. 2019 19:44

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#18 05. 10. 2019 19:53 — Editoval Ferdish (05. 10. 2019 19:54)

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#19 05. 10. 2019 19:59

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#20 05. 10. 2019 20:05

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#21 05. 10. 2019 20:38

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#22 05. 10. 2019 20:53

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#23 05. 10. 2019 21:01

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#24 05. 10. 2019 21:23

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

#25 05. 10. 2019 21:37

Re: Limity - nekonecno, - nekonecno

Zápatí