Matematické Fórum

roman_jan · 01. 06. 2009 13:57

Nerozumiem tomu. Mám tu jednoduchý príklad, ktorý sa snažím vyriešiť tak ako si myslím, že sa to robí(a nevychádza mi to).
Chcem nájsť vzorec pre n-tý člen postupnosti(no neviem sa dokopať ani ku vytvárajúcej funkcii);
$a_0 = 1, a_n=a_{n-1}+3$

Nech f(x) je vytvárajúca funkcia,
pre k>=2 by malo platiť f(x)-x.f(x)-3=0
Pre prvý člen to dáva 1-3=-2
Čiže f(x)-x.f(x)-3=-2
f(x)-x.f(x)=1
(1-x)f(x)=1
f(x)=1/(1-x) - evidentne blbost
Problém cítim u tej mínus trojky v druhom riadku, ale neviem čo s ňou

musixx · 01. 06. 2009 14:12

↑ roman_jan: Toto je sice posloupnost zadaná rekurentně, má lineární koeficienty, tedy připadá v úvahu poměrně obecná metoda, jak najít explicitní vzorec. Ale na druhou stranu jde též o posloupnost aritmetickou (indexovanou od nuly) s prvním členem 1 a diferencí 3. Tedy $a_n=1+3n$ pro $n=0,1,2,\dots$ .

roman_jan · 01. 06. 2009 14:22

No dobre dobre, ale tento príklad po mne nikto nechce, ide mi o všeobecný postup riešenia podobných úloh a sem som hodil najjednoduchší príklad aký ma napadol, aby som na ňom demonštroval svoj postup a aby mi niekto vysvetlil ktorá časť postupu je zle.

Kondr · 01. 06. 2009 14:51

f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...
xf(x)= a_0x+a_1x^2+a_2x^3+...

odečtením f(x)-xf(x)=a_0+3(x+x^2+x^3+...)
užitím vzorce pro součet geometrické řady $f(x)-xf(x)=a_0+\frac{3x}{1-x}$ , po dosazení za a_0 a úpravě $f(x)=\frac{1+2x}{(1-x)^2}$ .

O správnosti se můžeš přesvědčit zde: http://www45.wolframalpha.com/input/?i= … %2F(1-x)^2

roman_jan · 01. 06. 2009 15:01

Jasné. Vďaka.

Rumburak

↑ roman_jan:
Pokusím se ukázat postup pomocí vytvořující funkce f. Pro |x| < h <= 1 a vhodné zatím neznámé h > 0
(ještě nevíme, zda takové h vůbec existuje) zkusíme položit
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n+1} - 3) x^n = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1} x^n - 3\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1} x^n \,-\, \frac{3}{1-x}$ ,
tedy
$xf(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1} x^{n+1} \,-\, \frac{3x}{1-x}= f(x)\, -\, a_0 \,-\, \frac{3x}{1-x}$ ,
$f(x)= \frac{1}{1-x} \,+\, \frac{3x}{(1-x)^2}=\frac{1}{1-x} \,+\, 3x\,\frac{\text {d}}{\text{d} x}\,\frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{\infty}x^n \,+\, 3x\,\frac{\text {d}}{\text{d} x}\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \sum_{n=0}^{\infty}x^n \,+\, 3x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=$
$= \sum_{n=0}^{\infty}x^n \,+\, 3\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}(1 + 3n)x^n$ ,
$a_n = 1 + 3n$ .
Všechny řady ve výpočtu mají poloměr konvergence 1 , takže postup je korektní pro h = 1.

EDIT: kolega Kondr byl rychlejší - jo ten TEX ...

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2009 13:57

vytvarajuce fce

#2 01. 06. 2009 14:12

Re: vytvarajuce fce

#3 01. 06. 2009 14:22

Re: vytvarajuce fce

#4 01. 06. 2009 14:51

Re: vytvarajuce fce

#5 01. 06. 2009 15:01

Re: vytvarajuce fce

#6 01. 06. 2009 15:11 — Editoval Rumburak (01. 06. 2009 15:20)

Re: vytvarajuce fce

Zápatí