Matematické Fórum

Pluhtik

Zdravím,
chtěl bych se zeptat na hledání extrému ve funkci více proměnných (řekněme, ve funkci dvou proměnných).
Ve funkci $f(x, y) = x^{3} + xy^2 - 2xy - 5x$ mi vyšly stacionární body $[\sqrt{2}, 1]$ , $[-\sqrt{2}, 1]$ , $[0, 1+\sqrt{6}]$ a $[0, 1-\sqrt{6}]$ .

Vypočítal jsem, že lokální minimum je v 1. bodě a lokální maximum ve 2. bodě, ale neumím rozhodnout ty poslední dva.
Řešení toho příkladu říká doslova:
$... y = 1 + \sqrt{6}. f(x, 1+\sqrt{6}) = ... = x^3$ , je-li x > 0, pak f(...) > 0 a je-li x < 0, pak f(..) < 0. Odtud plyne, že v bodě není lokální extrém...
Může mi to někdo vysvětlit. Podle čeho tedy vím, že tam není lokální minimum/maximum, a jak bych ten lokální extrém poznal, kdyby tam byl?

Na cvičení jsme měli podobný příklad, ale tam cvičící místo přímky označil x=t a y=t. Jednalo se o $f(x, y) = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2$ . V bodě [0, 0] pak nešlo rozhodnout, tudíž označil x = t a y = t a vyšlo mu $2t^2 * (t - \sqrt{2}) * (t + \sqrt{2})$ . Následně označil x = t a y = -t (to jsem moc nepochopil proč) a vyšlo mu $2t^4$ . Na grafu pak ukázal, proč je takový graf nesmyslný.

Proč ty dva rozdílné postupy?

jardofpr · 15. 10. 2019 20:12

ahoj ↑ Pluhtik:

čo sa týka prvého problému tak sa zrejme zvolilo pevné $y$ a sleduje sa správanie funkcie $f$
na zúženom definičnom obore na priamku (akýsi 'rez grafom funkcie f')

funkcia $f(x,1+\sqrt(6))$ je funkcia jednej premennej, stacionárnemu bodu $f$ zodpovedá
voľba $x=0$ . Ako si napísal, v okolí bodu $x=0$ má funkcia s def.oborom zúženým na priamku aj
kladnú aj zápornú hodnotu pričom $f(0,1+\sqrt(6)) = 0$ . T.j. aj keď nezúžime def.obor na priamku,
stále bude platiť že v stac.bode je hodnota $f$ nula ale v jeho okolí ľubovoľne malom sú kladné
aj záporné funkčné hodnoty.

Môže v tom bode byť potom maximum alebo minimum?

K druhému problému

Pluhtik napsal(a):
... tudíž označil x = t a y = t a vyšlo mu $2t^2 * (t - \sqrt{2}) * (t + \sqrt{2})$ . Následně označil x = t a y = -t (to jsem moc nepochopil proč) a vyšlo mu $2t^4$ ...

čo konkrétne mu vyšlo $2t^2 * (t - \sqrt{2}) * (t + \sqrt{2})$ a $2t^4$ ?

Pluhtik · 15. 10. 2019 20:14

jardofpr napsal(a):
ahoj ↑ Pluhtik:

čo sa týka prvého problému tak sa zrejme zvolilo pevné $y$ a sleduje sa správanie funkcie $f$
na zúženom definičnom obore na priamku (akýsi 'rez grafom funkcie f')

funkcia $f(x,1+\sqrt(6))$ je funkcia jednej premennej, stacionárnemu bodu $f$ zodpovedá
voľba $x=0$ . Ako si napísal, v okolí bodu $x=0$ má funkcia s def.oborom zúženým na priamku aj
kladnú aj zápornú hodnotu pričom $f(0,1+\sqrt(6)) = 0$ . T.j. aj keď nezúžime def.obor na priamku,
stále bude platiť že v stac.bode je hodnota $f$ nula ale v jeho okolí ľubovoľne malom sú kladné
aj záporné funkčné hodnoty.

Môže v tom bode byť potom maximum alebo minimum?

K druhému problému

Pluhtik napsal(a):
... tudíž označil x = t a y = t a vyšlo mu $2t^2 * (t - \sqrt{2}) * (t + \sqrt{2})$ . Následně označil x = t a y = -t (to jsem moc nepochopil proč) a vyšlo mu $2t^4$ ...
čo konkrétne mu vyšlo $2t^2 * (t - \sqrt{2}) * (t + \sqrt{2})$ a $2t^4$ ?

Díky za radu :)
Dosadil to x = t a y = t do základní funkce (před zderivováním). Následně do té samé funkce dosadil x = t a y = -t

jardofpr

Pluhtik napsal(a):
Na grafu pak ukázal, proč je takový graf nesmyslný.

Nezdá sa mi že by šlo o nezmyselný graf ako píšeš.

Použil vlastne ten istý postup ako vyššie.

Ukázal že keď zvolíme priamku $x=y=t$ ako zúženie definičného oboru,
graf funkcie jednej premennej vyzerá asi nejak TAKTO.
Stacionárnemu bodu zodpovedá voľba $t=0$ , na grafe je vidno že v ľubovoľne malom okolí toho bodu sú nezáporné hodnoty.

Keď ale zvolíme priamku $x=t, y=-t$ ako zúženie def.oboru,
graf funkcie jednej premennej vyzerá asi nejak TAKTO
kde stac.bodu znovu zodpovedá voľba $t=0$ , na grafe je vidno že v ľub.malom okolí toho bodu sú nekladné hodnoty.

Je to ten istý princíp čo tvoj prvý problém, len iná voľba zúženia def.oboru.

Pluhtik · 15. 10. 2019 20:54

jardofpr napsal(a):
Pluhtik napsal(a):
Na grafu pak ukázal, proč je takový graf nesmyslný.
Nezdá sa mi že by šlo o nezmyselný graf ako píšeš.

Použil vlastne ten istý postup ako vyššie.

Ukázal že keď zvolíme priamku $x=y=t$ ako zúženie definičného oboru,
graf funkcie jednej premennej vyzerá asi nejak TAKTO.
Stacionárnemu bodu zodpovedá voľba $t=0$ , na grafe je vidno že v ľubovoľne malom okolí toho bodu sú nezáporné hodnoty.

Keď ale zvolíme priamku $x=t, y=-t$ ako zúženie def.oboru,
graf funkcie jednej premennej vyzerá asi nejak TAKTO
kde stac.bodu znovu zodpovedá voľba $t=0$ , na grafe je vidno že v ľub.malom okolí toho bodu sú nekladné hodnoty.

Je to ten istý princíp čo tvoj prvý problém, len iná voľba zúženia def.oboru.

Ok, takže kdyby byly obě hodnoty kladné, potom je v tom bodě lokální maximum a kdyby naopak záporné, pak je tam lokální minimum, chápu to správně? Pokud jsou rozdílné, tak tam extrém není.

jardofpr · 15. 10. 2019 21:06

↑ Pluhtik:

Aby si to pochopil správne. Tento princíp môže poslúžiť na to aby sa ukázalo že lokálny extrém NIE JE v danom stacionárnom bode, konkrétne tu sa ukazuje že v ľubovoľne malom okolí stac.bodu sú funkčné hodnoty aj väčšie,
aj menšie než funkčná hodnota v stac.bode čo stačí na dôkaz že v ňom extrém nie je.

Opačne to neplatí. Z toho, že funkcia so zúženým def.oborom má v stac.bode pôvodnej funkcie extrém,
ešte nevyplýva extrém pre pôvodnú funkciu s plným def.oborom.

Pluhtik · 15. 10. 2019 21:14

Ok, děkuji :)

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2019 16:48 — Editoval Pluhtik (15. 10. 2019 16:48)

Extrém ve funkci více proměnných

#2 15. 10. 2019 20:12

Re: Extrém ve funkci více proměnných

Pluhtik napsal(a):

#3 15. 10. 2019 20:14

Re: Extrém ve funkci více proměnných

jardofpr napsal(a):

Pluhtik napsal(a):

#4 15. 10. 2019 20:40 — Editoval jardofpr (15. 10. 2019 20:45)

Re: Extrém ve funkci více proměnných

Pluhtik napsal(a):

#5 15. 10. 2019 20:54

Re: Extrém ve funkci více proměnných

jardofpr napsal(a):

Pluhtik napsal(a):

#6 15. 10. 2019 21:06

Re: Extrém ve funkci více proměnných

#7 15. 10. 2019 21:14

Re: Extrém ve funkci více proměnných

Zápatí