Matematické Fórum

Když se koukneš na odvození té Úlohy o brachystochroně, tak bys to měl dát dohromady, je to skoro stejné, až na to, že rychlost je konstanta, a nezávisí na souřadnicích.

No, lze očekávat, že při pohybu konstantní rychlostí bude nejkratšímu času  odpovídat nejkratší délka - což je pohyb po přímce. Takže ono by se to nemuselo dělat takto sofistikovaně, budou to dvě přímky, jen se musí ve vhodném bodě potkat.

Pokud to chceš počítat přímo přes variační problém - tak ten integrál stejně budeš muset rozdělit na dvě (jeden na souši a druhý na moři) a vhodně je "sešít". Nebo přesněji řečeno - tu diferenciální rovnici, co z toho vznikne - integrálu ta nespojitost nevadí.

2M70 napsal(a):

Abych řekl pravdu, nějak nechápu, proč se funkcionál uzavírá dovnitř do integrálu (často od 0 do 1), když na počítání Gateatux diferenciálu a potažmo extremály, nemá žádný vliv, a pracuje se vlastně jen s integrandem.

To tvé "uzavření do integrálu" je vlastně formulací té úlohy. Bez toho je to prostě jen funkce závislá na nějaké jiné funkci.

Tím, že z to "uzavřeme do integrálu" a "dáme tomu i meze" z toho vyrobíme číslo. Ano číslo - závislé na volbě té funkce.

A samotný variační problém je najít takovou funkci, aby to číslo bylo nejmenší možné (nebo největší).

To, že existuje analytický způsob jak to řešit neznamená, že jej musíme použít. Můžeme to řešit klidně numericky ... bez toho integrálu a mezí ta úloha nedává smysl.


Představi si, že nějakou jednoduchou úlohu variačního počtu - jako například to, jaká je nejkratší dráha spojující body A a B v rovině - představi si, že z toho vyhodíme ty meze (tedy ty body)....vždyť to nedává smysl. Jasně, je jedno, jaké body to budou, dráha bude vždycky přímka, ale když tam ty body nebudou vůbec, tak není co spojovat. A v nekonečnu být nemohou ... u nekonečně dlouhé čáry nepoznáme, kde nabývá nejkratší délky...

Že pro analytické řešení ty meze nakonec nepotřebujeme - on je to důsledek toho, že když nějaká křivka realizuje třeba minimum toho funkcionálu - tak i každá její část realizuje dílčí minimum. U té přímky je to docela zřejmé.