Matematické Fórum

jozo0025 · 31. 05. 2009 13:48

Zdravím, vysvetlili by ste mi prosím niekto ako sa vypočíta ten čiastočný súčet radu. Začiatok toho príkladu chápem, jednoducho si dosádzam za n postupne 1,2,3...ale to potom už nechápem(vyznačil som to v tom obrázku). ďakujem za odpovede.

mikee · 31. 05. 2009 14:15

↑ jozo0025:
Taketo priklady casto vyuzivaju metodu, ze si to takto rozpiseme na zlomky a vacsina zlomkov nam "vypadne". Konkretne, napriklad prve dve jednotky vypadnu, lebo sa navzajom odcitaju a ostane 0. Dalej si vsimni zlomky $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}$ alebo trojicu $\frac{1}{4}-\frac{2}{4}+\frac{1}{4}$ (nejdu za sebou v poradi, treba vyberat zlomky s rovnakym menovatelom). Takychto trojic bude v rozpisanom sucte vela a sucet kazdej z nich bude 0, takze vypadne. Aby sme to mali prehladne, tak sa to zvykne na papieri skrtat aby sme videli co zostane. Na zaciatku zostane v zatvorke iba zlomok $\frac{1}{2}$ a na konci tie tri zlomky s premennou n v menovateli.
Dostali sme teda ciastocny sucet pre prvych n clenov a dopocitat limitu pre n iduce do nekonecna uz nie je tazke, pretoze vsetky tri tie zlomky s premennou n v menovateli idu limitne k nule, teda sucet radu bude iba $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ :)

jozo0025 · 31. 05. 2009 14:35

mne to menej páli, ale odkiaľ sa tam zobrali tie členy 1/n-5 - 2/n-4 + 1/n-3 atd........??

mikee · 31. 05. 2009 14:47

↑ jozo0025:
No za k postupne dosadzame cisla 1,2,3,...,n. Samozrejme tych cisel je lubovolne vela, v zavislosti od n, takze vsetky vypisat nemozeme. Ale to ani nepotrebujeme, my si dosadime iba prvych 5 a poslednych 6 cisel postupnosti 1,2,3,...,n; inak napisane 1,2,3,4,5,...,n-5,n-4,n-3,n-2,n-1,n. Tieto ked postupne dosadzujeme za k, tak dostaneme zlomky ktore mas uvedene v obrazku.
Este sa mozno pytas, preco prave prvych 5 a poslednych 6. Odpoved je taka, ze nemuselo to byt prave prvych 5 a poslednych 6 (ale takto je to v rieseni na obrazku), mohli by sme dosadit aj prvych 20 cisel a poslednych 20 cisel postupnosti 1,2,...,n; ale bolo by to uz zbytocne vela. Tiez keby sme dosadili iba prve 2 a posledne 2, bolo by to zase malo :)

jozo0025 · 31. 05. 2009 16:52

Diky, čiže ak som to správne pochopil, tak som skúsil sám vypočítať príklad. Zadanie : Rozhodnite o konvergencii daného radu, ak konverguje zistite jeho súčet. Viem, že by som mal asi použiť nejaké pravidlo pre zistenie konvergencie ale nedá sa to zistiť už z toho súčtu? Vychádza mi tam že limita bude rovná nekonečnu (ak sa nemýlim), to znamená že rad nebude konvergovať ale divergovať? Mám ten príklad dobre?

kaja(z_hajovny) · 31. 05. 2009 17:13

nemate to dobre, tohle je geometricka rada, uci se na stredni skole

jozo0025 · 01. 06. 2009 19:20

Tak ako by to malo vyzerat?

Ginco · 01. 06. 2009 19:24

↑ jozo0025: zkusím to

Ginco · 01. 06. 2009 19:33

$\sum_0^\infty{\frac{1}{3^n}}$

takže konvergence ...nenapadá mě nic lepšího než zkusit limitní odmocninové(Cauchy) kritérium :)

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{1}{3})^n}=\frac{1}{3}<1\rightarrow\text{konvergence}$

no a součet geometrické řady : $s=\frac{a1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

jozo0025 · 01. 06. 2009 19:47

dik, ale prečo je v tom kritériu (1/3)^n umocnený celý výraz a nielen tá 3 ako je to v tom zadaní radu?

Ginco · 01. 06. 2009 20:15

↑ jozo0025:

No ale vždyť to je to stejné ! umocněním jednotky na libovolné číslo z oboru reálných čísel je vždy jednotka.

Ginco · 01. 06. 2009 20:19

Pokud ti to tedy "vadí", tak si napiš $\frac{1}{3}=3^{-1}$

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{{3}^{-n}}=\sqrt[n]{[{3}^{-1}]^n}=3^{-1}<1\rightarrow\text{konvergence}$

jozo0025 · 01. 06. 2009 20:35

No skúšam to vypočítať podľa limitného podielového kritéria ale nejak tú 1/3 nemôžem dostať 1/3^n+1 * 3^n

Ginco · 01. 06. 2009 20:39

↑ jozo0025:

$\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{3^n}{3^n.3}=\frac{1}{3}$

Olin · 01. 06. 2009 20:41 — Editoval Olin (01. 06. 2009 20:45)

$\frac{1}{3^{n+1}}\cdot 3^n = \frac{3^n}{3\cdot 3^n} = \frac 13$

Podle mě je tam zbytečné rvát limitu, stačí obyčejné podílové kritérium, neboť podíl po sobě jdoucích členů je v tomto případě konstantní.

jozo0025 · 01. 06. 2009 20:45

už chápem, dik !

jozo0025

Ako na takýto príklad?
Pomocou diferenciálu funkcie 2 premenných alebo Taylorovho radu pre f(x,y) vyjadrite hodnotu výrazu funkcie f(1,5;4,5) pre $\sqrt{xy}$

Johny · 01. 06. 2009 21:16 — Editoval Johny (01. 06. 2009 21:16)

↑ jozo0025:

Podle díferenciálu si vytvoříš matici v tomto případě asi vektor(funkci zderivuješ dle všech proměných) a nebo u Taylora provedeš rozvoj podle toho vzorce a dosadíš body.

jozo0025 · 01. 06. 2009 21:46

troška názornejšie by to nešlo?

Johny · 01. 06. 2009 22:23 — Editoval Johny (01. 06. 2009 22:23)

↑ jozo0025:

Zde máš pěkně popsané jak se to počítá :) . Jelikož nemáš zadanou funkci h=(h1,h2), takže ji chápej třeba jako konstantu :).

http://mathonline.fme.vutbr.cz/UploadedFiles/816.pdf

jozo0025 · 01. 06. 2009 22:35

a ten bod A ako vypočítam?

Johny · 01. 06. 2009 22:38 — Editoval Johny (01. 06. 2009 22:39)

↑ jozo0025:

Ty souřadnice ,které si napsal o nějaký příšpěvek dříve f(1,5;4,5), tedy mužeš napsat A =(1,5;4,5)

jozo0025

No teda som sa pokúsil vypočítať to pomocou toho čo bolo uvedené v tom linku :
takže prvá parciálna derivácia podľa x :
$f\prime_x=\frac{y}{2\sqrt{xy}}$
prvá parciálna derivácia poľda y :
$f\prime_y=\frac{x}{2\sqrt{xy}}$
potom teda dosadím tam tie súradnice (1,5 ; 4,5)
čiže :
$f\prime_x(A)=\frac{9}{10}$
$f\prime_y(A)=\frac{3}{10}$
a teda diferenciál :
$d_hf(A)=f\prime_x(A)h1+f\prime_y(A)h2$
$d_hf(A)=\frac{9}{10}h1+\frac{3}{10}h2$

dúfam že som sa numericky nesekol. Je to dobre? Ak nie čo mám zle tak čo? dik

jozo0025 · 03. 06. 2009 18:59

skontrolujete mi to prosím niekto?

Johny · 03. 06. 2009 20:17

↑ jozo0025:

Je to Ok.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2009 13:48

Nekonečné číslené rady

#2 31. 05. 2009 14:15

Re: Nekonečné číslené rady

#3 31. 05. 2009 14:35

Re: Nekonečné číslené rady

#4 31. 05. 2009 14:47

Re: Nekonečné číslené rady

#5 31. 05. 2009 16:52

Re: Nekonečné číslené rady

#6 31. 05. 2009 17:13

Re: Nekonečné číslené rady

#7 01. 06. 2009 19:20

Re: Nekonečné číslené rady

#8 01. 06. 2009 19:24

Re: Nekonečné číslené rady

#9 01. 06. 2009 19:33

Re: Nekonečné číslené rady

#10 01. 06. 2009 19:47

Re: Nekonečné číslené rady

#11 01. 06. 2009 20:15

Re: Nekonečné číslené rady

#12 01. 06. 2009 20:19

Re: Nekonečné číslené rady

#13 01. 06. 2009 20:35

Re: Nekonečné číslené rady

#14 01. 06. 2009 20:39

Re: Nekonečné číslené rady

#15 01. 06. 2009 20:41 — Editoval Olin (01. 06. 2009 20:45)

Re: Nekonečné číslené rady

#16 01. 06. 2009 20:45

Re: Nekonečné číslené rady

#17 01. 06. 2009 21:11 — Editoval jozo0025 (01. 06. 2009 21:11)

Re: Nekonečné číslené rady

#18 01. 06. 2009 21:16 — Editoval Johny (01. 06. 2009 21:16)

Re: Nekonečné číslené rady

#19 01. 06. 2009 21:46

Re: Nekonečné číslené rady

#20 01. 06. 2009 22:23 — Editoval Johny (01. 06. 2009 22:23)

Re: Nekonečné číslené rady

#21 01. 06. 2009 22:35

Re: Nekonečné číslené rady

#22 01. 06. 2009 22:38 — Editoval Johny (01. 06. 2009 22:39)

Re: Nekonečné číslené rady

#23 02. 06. 2009 16:27 — Editoval jozo0025 (02. 06. 2009 16:29)

Re: Nekonečné číslené rady

#24 03. 06. 2009 18:59

Re: Nekonečné číslené rady

#25 03. 06. 2009 20:17

Re: Nekonečné číslené rady

Zápatí