Matematické Fórum

jajko · 19. 10. 2019 14:07 — Editoval jajko (19. 10. 2019 14:10)

Zdravím,

viete mi prosím Vás poradiť s týmto príkladom?
$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{1+x^{n}+(\frac{x^{2}}{2})^{n}}$

krakonoš

↑ jajko:
Ahoj
x je nejaky kladny parametr?
Budes muset rozlisit pripady, kdy x je mensi nez jedna a kdy vetsi nebo rovno jedne.
Dale si n tou odmocninu vyjadri jako 1/n mocninu a uvedom si ,ze neco umocnene na 1/n je totez jako exp(1/n *log( neco)).
Dale vyuzij pro x mensi nez jedna,kdyz je napriklad x =1/2,ze log(1+neco na okoli nuly) se chova stejne jako neco na okoli nuly.
Pro x>1 uvazuj,ze mocniny x opet vyjadris pomoci exponenciely, muzes pouzit LHospitalovo pravidlo....

jajko · 19. 10. 2019 15:10

↑ krakonoš: áno, x je kladný parameter. Zabudol som to tam dať

krakonoš · 19. 10. 2019 15:12

↑ jajko:
Zkus nejprve napsat postup pro x<1 podle navodu a poslat to sem

krakonoš · 19. 10. 2019 15:40

↑ jajko:
Kdyz jsem si to pocitala, pro x<1 je uz ta limita videt rovnou z vyrazu log(1+soucet mocnin)/n, ze bude nulova.Tedy vysledek bude exp(0)=1.
V pripade x>1 dej pozor po aplikaci LHospitalova pravidla,po derivaci logaritmu dostanes zlomek,kde si musis uvedomit nejvyssi mocninu.Pro x>=2 bude vyssi ta posledni v zavorce logaritmu.Jinak bude vyssi ta x na ntou.