Matematické Fórum

2M70 · 25. 10. 2019 19:14

Dobrý den,

já vím, v pravidlech se jasně píše, že fórum nesmí být použito jako "automat na řešení celých příkladů", já vím.

Nicméně.

Narazil jsem na závažný problém, kde si nevím rady.

Je to slovní úloha na variační počet:

Žvýkačka je připevněná na okraje čtvercového rámečku o hranách délky 1, jehož rohy jsou v bodech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). V termodynamické rovnováze žvýkačka zaujme minimální povrch. Nicméně z povětrnostních důvodů má omezení

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}sin(\pi x)sin(\pi y)u(x,y)dxdy=\frac{1}{100}$

kde u(x,y) označuje výšku povrchu žvýkačky nad rovinou rámečku. Jaký přibližně tvar žvýkačka zaujme?

*
Moje úvaha:

Je to jasný variační počet, úloha na hledání extremály s vazbou, kde vazba je dána tím hrozivým dvojným integrálem.

I bez povětrnostních vlivů určitě nebude určitě žvýkačka napnutá v celém ohraničujícím čtverci všude stejně a pravděpodobně ani nebude mít v celé ploše stejnou tloušťku. Nejsem si jistý, jestli bude nejvíce napjatá uprostřed "blány", nebo naopak u okrajů rámečku.

Nevím, jaký tato komplikovaně zadaná vazba může mít vliv na tvar žvýkačky. Podle mě by za "normálních" povětrnostních podmínek měl na "blánu" žvýkačky "foukat vítr", čímž tu "blánu" vychýlí, "nafoukne" do jednoho směru. "Zdravý lidský rozum ("ZLR")" mi říká, že by se ta žvýkačka měla zdeformovat nejpravděpodobněji do tvaru jakési "prostorové Gaussovy křivky", nebo jak to nazvat. Tedy že nejvychýlenější bude ta "blána" přesně uprostřed a směrem k okrajům se výchylka zmenší.

Jenže takováhle komplikovaně zadaná vazba může znamenat úplně jiný směr a rozložení "větru", než je "normální vítr".

Navíc tento výraz označuje pouze "vazbu", ale na vyřešení celé úlohy je zřejmě nezbytné znát funkcionál této variační úlohy, což dává další problém - jak popsat nějakým funkcionálem toto slovní zadání ("Žvýkačka je připevněná na okraje čtvercového rámečku o hranách délky 1...").

Myslím, že úloha by měla být řešitelná i bez znalosti diferenciálních rovnic pro řešení membrány (takovou ani neznám).

*

Doufám, že takto podaný problém není jen netolerovaným dotazem "tady je zadání příkladu, napište mi řešení".

Budu rád za jakoukoli radu, nápad.

2M70 · 25. 10. 2019 22:03

Nápad: ten rámeček se žvýkačkou, i když zatím neznám působení vazby, nemusí být nutně kolmo ke směru větru, ale může být různě natočen, případně být rovnoběžný se směrem větru. Pak bychom dosáhli "šikmého", resp. žádného "vyboulení".

Stýv · 25. 10. 2019 23:13

2M70 napsal(a):
V termodynamické rovnováze žvýkačka zaujme minimální povrch.

2M70 · 25. 10. 2019 23:21

Teď jde o to, jak zařídit, aby žvýkačka byla současně přichycena ke všem stranám toho čtvercového"rámečku" a současně měla nejmenší povrch.

laszky · 26. 10. 2019 00:55 — Editoval laszky (26. 10. 2019 03:02)

↑ 2M70:

Ahoj, ja bych hledal funkci u ve tvaru

$u(x,y) = \sum_{k,l}\alpha_{kl}\sin(k\pi x)\sin(l\pi y)$ .

Tim bude zajisteno "prichyceni" ke stranam ramecku. Povetrnostni omezeni pak daji hodnotu $\alpha_{1,1}$ .
Zbyle koeficienty $\alpha_{k,l}$ bych urcil minimalizaci funkcionalu

$S(\vec{\alpha}) = \int_0^1\int_0^1 \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+1} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , kde $\vec{\alpha} = (\alpha_{12},\alpha_{21},\alpha_{13},\alpha_{22},\alpha_{31},\dots)$

tzn. $\frac{\partial S(\vec{\alpha})}{\partial \alpha_{mn}} = 0$ pro vsechna $(m,n)\neq(1,1)$

...asi to pak ale bude nejaka oskliva soustava nelinearnich integralnich rovnic :./

2M70 · 26. 10. 2019 10:47

Podle mě to určitě nemá vést na soustavu integrálních rovnic, mělo by to dát "obyčejný" funkcionál. Bohužel netuším, jakou vazbu může představovat ten šílený integrál.

jardofpr · 27. 10. 2019 12:14

Ahojte

↑ 2M70:
k tomu šialenému integrálu

2M70 napsal(a):
V termodynamické rovnováze žvýkačka zaujme minimální povrch.

t.j. žuvačka bude natiahnutá v rovine rámčeka, a teda by bolo

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}sin(\pi x)sin(\pi y)u(x,y)dxdy=0$

keďže povrch žuvačky sa nachádza v rovine rámčeka, t.j. má všade nulovú výšku. Väzba

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}sin(\pi x)sin(\pi y)u(x,y)dxdy=\frac{1}{100}$

hovorí len toľko že z tejto roviny bude žuvačka mierne vychýlená a prípustný stavový priestor
pre hľadanie optimálnej polohy bude taký, že objem medzi plochou žuvačky a rovinou rámčeka bude
v určitom zmysle konštantný; pričom najväčšiu váhu vo väzbe má výška žuvačky nad povrchom rámčeka okolo stredu.
Váha

Zároveň sa zdá že pôjde o veľmi malé vychýlenie keďže objem pod vychýlením je maličký (0.01) oproti ploche rámčeka.

2M70 napsal(a):
I bez povětrnostních vlivů určitě nebude určitě žvýkačka napnutá v celém ohraničujícím čtverci všude stejně a pravděpodobně ani nebude mít v celé ploše stejnou tloušťku. Nejsem si jistý, jestli bude nejvíce napjatá uprostřed "blány", nebo naopak u okrajů rámečku.

Týmto by som sa netrápil vôbec, pokiaľ nie je uvedené inak, predpokladal by som homogénnosť žuvačky
a rovnomernú napätosť pozdĺž celej plochy žuvačky. Okrem toho v týchto úlohách, hlavne v cvičeniach pre nejaký
kurz sa predpokladá membrána takmer vždy nekonečne tenká.

2M70 napsal(a):
Nevím, jaký tato komplikovaně zadaná vazba může mít vliv na tvar žvýkačky. Podle mě by za "normálních" povětrnostních podmínek měl na "blánu" žvýkačky "foukat vítr", čímž tu "blánu" vychýlí, "nafoukne" do jednoho směru. "Zdravý lidský rozum ("ZLR")" mi říká, že by se ta žvýkačka měla zdeformovat nejpravděpodobněji do tvaru jakési "prostorové Gaussovy křivky", nebo jak to nazvat. Tedy že nejvychýlenější bude ta "blána" přesně uprostřed a směrem k okrajům se výchylka zmenší.

Nafúknutie v jednom smere je pekná predstava čo sa týka sledovania výšky žuvačky nad povrchom rámčeka.
Žuvačka sa ale nafukuje trojrozmerne, nie len v smere jednej osi; taký predpoklad by mohol viesť k úlohe bez riešenia.
Skôr sa mi zdá že princíp ZLR ktorý spomínaš bude rozumnejší. Tým že je žuvačka prichytená o rámček má
určite najviac slobody na deformáciu v strede rámčeka. V závislosti od sily a smeru vetra (ktoré nepoznáme)
sa tento tvar pravdepodobne od stredu vychýli, ale keďže ide o malú deformáciu a teda malú pôsobiacu externú silu,
predpokladal by som že sa veľmi "vyboulení" od stredu neposunie.

2M70 napsal(a):
Jaký přibližně tvar žvýkačka zaujme?

Táto veta evokuje že úlohu možno netreba riešiť úplne presne hľadaním funkcionálu, ale možno len rozobrať situáciu.
Presné riešenie pravdepodobne nebude ďaleko od toho čo píšem vyššie pod komentom k ZLR.

Čo ma napadá pre presné riešenie je jedine minimalizovať potenciálnu energiu žuvačky v stavovom priestore
ohraničenom väzbou. Možnože nejaká verzia Hooke-ovho zákona by pomohla odvodiť funkcionál (nie lineárna)
ale k tomu je potrebné poznať vonkajšiu silu pôsobiacu na žuvačku.

Takže mi to príde že na presné riešenie nemáš dosť dát ale môžem byť samozrejme mimo.

2M70 · 27. 10. 2019 12:59

↑ jardofpr:

Ahojte,

díky moc za detailní a vyčerpávající rozbor problému !!!

Asi bude opravdu nejlepší nějaký teoretický popis toho, co udělá vítr s napnutoou žvýkačkou.

Zbývá snad už jen "dekódovat" ten integrál. Za předpokladu, že výška nad rovinou rámečku má největší váhu, tak je tato výška velmi malá.

Napadá mě, že sinus je v reálném případě vždy maximálně 1. Ale nevím, proč je v integrandu ten součin sinů vlastně uveden.

A shrnutí - jaký tvar bude mít nejpravděpodobněji ta žvýkačka, na kterou "fouká vítr"?

jardofpr

↑ 2M70:

2M70 napsal(a):
Asi bude opravdu nejlepší nějaký teoretický popis toho, co udělá vítr s napnutoou žvýkačkou.

To záleží od toho ako to máte riešiť, len to slovo "približne" mi pripadá že sa nemusí myslieť priame riešenie.

2M70 napsal(a):
Napadá mě, že sinus je v reálném případě vždy maximálně 1. Ale nevím, proč je v integrandu ten součin sinů vlastně uveden.

Na to sa môžeš pozerať ako na niečo čo vyplynulo zo skúmania poveternostných podmienok ktoré potom viedli
k spomenutej väzbe. Na odpoveď prečo tam tento súčin je by to chcelo vidieť zdôvodnenie.

2M70 napsal(a):
A shrnutí - jaký tvar bude mít nejpravděpodobněji ta žvýkačka, na kterou "fouká vítr"?

Uvádzam dva príklady funkcie $u(x,y)$ ktoré spĺňajú väzbu a mohli by predstavovať priehyb žuvačky pod rôznym
smerom vetra. Môžeš sa presvedčiť že väzbu spĺňajú výpočtom integrálu.

Napr. pri vetre kolmom na rovinu rámčeka by to mohlo vyzerať nejak takto

$u(x,y) = \bigg(\frac{\pi^3}{40}\bigg)^2\bigg(\frac{1}{4}-\Big(\frac{1}{2}-x\Big)^2\bigg)\bigg(\frac{1}{4}-\Big(\frac{1}{2}-y\Big)^2\bigg)$

Obrázok

Pri vetre zo strany trebárs nejak takto, viac-menej vychýlenie stredu.

$u(x,y) = \bigg(\frac{\pi^3}{60}\bigg)^2\bigg(\frac{59}{108}-\frac{x}{3}-\Big(\frac{1}{2}-x\Big)^2-\Big(\frac{2}{3}-x\Big)^3\bigg)\bigg(\frac{59}{108}-\frac{y}{3}-\Big(\frac{1}{2}-y\Big)^2-\Big(\frac{2}{3}-y\Big)^3\bigg)$

Obrázok

Tieto samozrejme sú našité na to aby vyzerali ako prehnutá membrána približne ale nie sú vytvorené
pod nejakým konkrétnym elastickým zákonom,t.j. len na ukážku.

Myslím si že by to malo vyzerať zhruba nejak podobne, intuitívne teda.
Na obrázku keď si všimneš mierku na osiach tak naozaj pôjde o maličké vychýlenie aby bola väzba splnená.

Otázkou ale stále je či to máte spočítať alebo odhadnúť.

2M70 · 27. 10. 2019 15:29

↑ jardofpr:

Vzhledem k tomu, že je v tom zadání "jaký tvar PŘIBLIŽNĚ zaujme" a vzhledem ke komplikovanosti výpočtů bude zřejmě stačit nějak dostatečně popsat tvar té žvýkačky, ovšem bude to chtít nějak dostatečně zdůvodnit, byť třeba na základě výpočtů. Začal bych asi tak, že jde o úlohu variačního počtu a jde nám o to, aby měla žvýkačka za daných podmínek nejmenší povrch.

Ty výrazy pro u(x,y) jsou výpočty toho "vazbového" integrálu získané nějak výpočtem ve Wolframu? Divím se, že integrál šlo tak explicitně vyřešit.

laszky · 27. 10. 2019 16:10

↑ 2M70:

Ahoj, pokud bych mohl dat i ja svuj "tip", tak

$u(x,y)\approx \frac{1}{25}\sin(\pi x)\sin(\pi y)$ . :-)

Dospeje se k nemu vyse popsanym zpusobem.

2M70 · 27. 10. 2019 16:22

↑ laszky:
Ahoj, když se nad tím zamyslím, tak i kdyby oba siny byly 1, tak je ta výchylka maximálně 1/25 = 0,04 a hrany rámečku jsou délky 1, takže to vychýlení je řádově menší a to vyboulení bude sotva patrné, i když nějaké bude.

2M70 · 27. 10. 2019 17:15

↑ laszky:

Teď jsem si všiml - ten "tip" je velmi dobrý -

dosadím x = 0 nebo y = 0, dostanu sin 0 = 0,
nebo dosadím x = 1 nebo y = 1, dostanu taky sinus pí = 0,

což vynuluje celý vztah pro výchylku, tj. u(x,y) = 0.

Čili u hran čtverce rámečku je žvýkačka opravdu nevychýlená, což vlastně dává i "ZLR".

laszky · 27. 10. 2019 18:31 — Editoval laszky (27. 10. 2019 20:20)

↑ 2M70:

Ano, tak to bylo zvolene. To plati pro libovolnou funkci $\sin(k\pi x)\sin(l\pi y)$ , $k,l\in\mathbb{N}$ .

Navic v tomto pripade je uloha x-y symetricka, takze staci uvazovat pouze funkce

$u_k(x,y)=\sin(k\pi x)\sin(k\pi y)$ , $k\in\mathbb{N}$

Protoze dale plati

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_k(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$ pro $k>1$

a

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_1(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{4}$ ,

je jasne, ze vazebna podminka bude splnena, pro libovolnou funkci

$u(x,y) = \frac{1}{25}\sin(\pi x)\sin(\pi y) + \sum_{k=2}^\infty\alpha_k u_k(x,y)$

Vypoctem jsem zjistil (pozadavek minimalniho povrchu), ze dale bude $\alpha_2=0$ , $\alpha_3\approx-1.309\cdot10^{-5}$ .

2M70 · 27. 10. 2019 19:03

Nějak mi není jasná ta řada napravo a koeficienty $\alpha _{k}$

a koeficienty u u(x,y), tedy
$u_{1}(x,y), u_{2}(x,y),...,u_{k}(x,y)$

Je mi divné, že funkcí u(x,y) je více než jedna.

A ještě nevím, jak se došlo k hodnotě 1/4 ve vztahu

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_1(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{4}$

Ale něco mě napadlo -

uprostřed plochy je x = 1/2 a y = 1/2,

tím dostávám
$sin(\pi x).sin(\pi y)=sin(\frac{\pi }{2}).sin(\frac{\pi }{2})=1.1.=1$

čímž se integrál redukuje na
$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}u(x,y)dx dy=\frac{1}{100}$

laszky · 27. 10. 2019 19:31

↑ 2M70:

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_1(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi x)\sin(\pi y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$
$=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin^2(\pi x)\sin^2(\pi y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\sin^2(\pi y)\left(\int_{0}^{1}\sin^2(\pi x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y = \left(\int_{0}^{1}\sin^2(\pi y)\,\mathrm{d}y\right)\left(\int_{0}^{1}\sin^2(\pi x)\,\mathrm{d}x\right)=$
$=\left(\int_{0}^{1}\sin^2(\pi x)\,\mathrm{d}x\right)^2 = \left(\int_{0}^{1}\frac{1-\cos(2\pi x)}{2}\mathrm{d}x\right)^2 = \left(\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2\pi x)}{4\pi}\right]_0^1\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

Oproti tomu pro $k\geq2$ je

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_k(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(k\pi x)\sin(k\pi y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$
$=\left(\int_0^1\sin(\pi x)\sin(k\pi x)\mathrm{d}x\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\int_0^1\cos\left((k+1)\pi x\right)-\cos\left((k-1)\pi x\right)\mathrm{d}x\right)^2 =$
$=\left(-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin((k+1)\pi x)}{(k+1)\pi}-\frac{\sin((k-1)\pi x)}{(k-1)\pi}\right]_0^1\right)^2=0$

Pokud tedy funkci $u$ hledame jako linearni kombinaci funkci $u_k$ , tj.

$u(x,y) = \sum_{k=1}^\infty\alpha_k u_k(x,y)$ , $\alpha_k\in\mathbb{R}$ ,

potom

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_k(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =$
$=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_1(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\alpha_1}{4}$

ke splneni vazebne podminky staci zvolit $\alpha_1=\frac{1}{25}$ , zbyla $\alpha_k$ , $k\geq2$ , mohou byt libovolna.

Presnou hodnotu $\alpha_k,\ k\geq2$ , urcime tak, aby byl povrch zvykacky minimalni.

2M70 · 27. 10. 2019 19:45

↑ laszky:

Není mi jasný ten začátek, tedy

$u_{1}(x,y)=sin(\pi x).sin(\pi y)$

a podobně dosazení za $u_{k}(x,y)$ v druhé odvozovačce.

další řešení vzniklého dvojného integrálu je po tomto dosazení už triviální, tomu rozumím.

laszky · 27. 10. 2019 19:54 — Editoval laszky (27. 10. 2019 19:55)

↑ 2M70:

To je jen oznaceni tech funkci... Oznacime si

$u_k(x,y) = \sin(k\pi x)\sin(k\pi y)$

a spocitame

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_1(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{4}$ a
$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_k(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$ , pro $k\geq2$ .

Potom, hledame-li funkci $u$ ve tvaru $u(x,y) = \sum_{k=1}^\infty\alpha_k u_k(x,y)$ , zjistime, ze z vazebne podminky plyne

$\frac{1}{100}=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u_k(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\alpha_1}{4}$ , atd.

2M70 · 27. 10. 2019 20:02

↑ laszky:

Překvapuje mě, že ta funkce u(x,y) není jediná, ale že v tom odvození je jich více (dokonce nekonoečně mnoho, podle mezí v sumě).

laszky · 27. 10. 2019 20:14

↑ 2M70:

$u$ je jedina, $u_k$ je nekonecne mnoho.

Ale je to jako kdyby resenim nejakeho problemu byla napr. funkce $\mathrm{e}^x$ , kterou lze zapsat jako

$\mathrm{e}^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

a tys tvrdil, ze te prekvapuje, ze tam jsou nejake funkce $x^k$ , dokonce nekonecne mnoho. :-)

2M70 · 27. 10. 2019 20:18

↑ laszky:

Teď jde o to, proč vlastně zavádět $u_{k}$ , jestli bychom si nevystačili s jedinou funkcí u(x,y)? Já vím, možná se ptám hloupě :-)

laszky · 27. 10. 2019 20:21

↑ 2M70:

Protoze $u_k(x,y)$ je kratsi nez $\sin(k\pi x)\sin(k \pi y)$ :D

2M70 · 27. 10. 2019 20:29

↑ laszky:

Dobře, ale jak jsme dospěli k zavedení členů $\sin(k\pi x)\sin(k \pi y)$ dovnitř integrandu?

laszky · 27. 10. 2019 20:46

↑ 2M70:

Sice mi prijde, ze uz si ze me delas trochu standu, ale...

$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)u(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^1\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sum_{k=1}^\infty\alpha_k u_k(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =$
$=\sum_{k=1}^\infty\alpha_k \int_0^1\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y) u_k(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sum_{k=1}^\infty\alpha_k \int_0^1\!\!\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\sin(\pi y) \sin(k\pi x)\sin(k\pi y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ,

2M70 · 27. 10. 2019 20:57

↑ laszky:

Tak to se omlouvám, jestli to tak vypadá, ale opravdu to tak není a jen mi některé kroky výpočtů nejsou úplně zřejmé. Nevylučuji, že jsem trochu "natvrdlý" :-).

Pokud se nebudeš moc zlobit, zeptal bych se na snad už poslední otázku - jak zdůvodním zavedení parametru $\alpha _{k}$ ? Když to napíšu jen tak bez zdůvodnění, budu pak marně vysvětlovat, jak jsem si to "vycucal z prstu" :-).

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2019 19:14

Variační počet - slovní úloha

#2 25. 10. 2019 22:03

Re: Variační počet - slovní úloha

#3 25. 10. 2019 23:13

Re: Variační počet - slovní úloha

2M70 napsal(a):

#4 25. 10. 2019 23:21

Re: Variační počet - slovní úloha

#5 26. 10. 2019 00:55 — Editoval laszky (26. 10. 2019 03:02)

Re: Variační počet - slovní úloha

#6 26. 10. 2019 10:47

Re: Variační počet - slovní úloha

#7 27. 10. 2019 12:14

Re: Variační počet - slovní úloha

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

#8 27. 10. 2019 12:59

Re: Variační počet - slovní úloha

#9 27. 10. 2019 14:57 — Editoval jardofpr (27. 10. 2019 14:59)

Re: Variační počet - slovní úloha

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

#10 27. 10. 2019 15:29

Re: Variační počet - slovní úloha

#11 27. 10. 2019 16:10

Re: Variační počet - slovní úloha

#12 27. 10. 2019 16:22

Re: Variační počet - slovní úloha

#13 27. 10. 2019 17:15

Re: Variační počet - slovní úloha

#14 27. 10. 2019 18:31 — Editoval laszky (27. 10. 2019 20:20)

Re: Variační počet - slovní úloha

#15 27. 10. 2019 19:03

Re: Variační počet - slovní úloha

#16 27. 10. 2019 19:31

Re: Variační počet - slovní úloha

#17 27. 10. 2019 19:45

Re: Variační počet - slovní úloha

#18 27. 10. 2019 19:54 — Editoval laszky (27. 10. 2019 19:55)

Re: Variační počet - slovní úloha

#19 27. 10. 2019 20:02

Re: Variační počet - slovní úloha

#20 27. 10. 2019 20:14

Re: Variační počet - slovní úloha

#21 27. 10. 2019 20:18

Re: Variační počet - slovní úloha

#22 27. 10. 2019 20:21

Re: Variační počet - slovní úloha

#23 27. 10. 2019 20:29

Re: Variační počet - slovní úloha

#24 27. 10. 2019 20:46

Re: Variační počet - slovní úloha

#25 27. 10. 2019 20:57

Re: Variační počet - slovní úloha

Zápatí