Matematické Fórum

laszky · 27. 10. 2019 21:51

↑↑ 2M70:

Funkce $\{\sin(k\pi x)\sin(l\pi y)\}_{k,l=1}^{\infty}$ tvori ortogonalni bazi prostoru funkci $H^1_0((0,1)^2)$ (zhruba receno prostor derivovatelnych funkci nulovych na hranici.) Takze reseni $u$ musi jit jednoznacne vyjadrit jako linearni kombinace techto funkci. Protoze je nas problem symetricky vzhledem k x a y (ta vazebna podminka je symetricka), zajimaji nas pouze ty bazove funkce, pro ktere k=l. Libovolna funkce $u$ takova, ze $u(x,y)=u(y,x)$ a $u=0$ na hranici, lze tedy jednoznacne zapsat pomoci funkci teto baze jako

$u(x,y) = \sum_{k=0}^\infty\alpha_k \sin(k\pi x)\sin(k\pi y)$ ,

kde $\alpha_k$ jsou nezname koeficienty, ktere je treba spocitat. Neni to nic jinyho nez linearni algebra prvniho rocniku VS:
Kazdy vektor lze vyjadrit jednoznacne pomoci bazovych vektoru a $\alpha_k$ jsou koeficienty teto linearni kombinace.

2M70 · 27. 10. 2019 21:59

↑ laszky:

Tak to asi bude všechno, už nebudu vyrušovat :-) Leda že by se mi ještě něco nezdálo. Ještě to bude chtít sepsat k tomu nějakou dobrou "omáčku" :-)

Díky moc za pomoc! :-)

2M70 · 30. 10. 2019 17:19

Ještě než téma úplně uzavřu - jak byste popsali tvar té žvýkačky? Bude to taková "prostorová půlka sinusoidy" (tou "půlkou sinusoidy" myslím ten oblouk mezi 0 a pí), ale přemýšlím, jak ten útvar nazvat.

Ferdish

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2M70 · 01. 11. 2019 21:22

Chci začít dělat čistopis. Má někdo eventuálně ještě nějaký nápad na vylepšení řešení příkladu? Předem díky.

2M70 · 06. 11. 2019 14:46

Moc se všem omlouvám za další vytrhování od práce, které máte všichni jistě víc než dost, avšak přece jen bych ještě potřeboval poradit - v řešení prý musí být vidět využití variačního počtu a být tam sestavena Eulerova-Lagrangeova rovnice, využívající tu "sinovou" vazbu (s tou "jednou setinou"). Uvítám jakýkoli nápad. Předem díky!

jardofpr · 09. 11. 2019 11:51

ahoj ↑ 2M70:

ako štartovací bod mi narýchlo napadá skúsiť plošný integrál, pre pevné $u=u(x,y)$ má plocha v 3D definovaná bodmi $(x,y,u(x,y))$ povrch

$A[u]=\iint_{[0,1]\times [0,1]}\sqrt{(u_x)^2+(u_y)^2+1}\,\,\,\mathrm{d}(x,y)$

snaha by teda bola minimalizovať funkcionál $A$ s väzbou ktorú uvádzaš

ďalej som to neriešil zatiaľ, ale skús či takto niečo vytrieskaš z E.L. rovnice