Matematické Fórum

Pluhtik

Zdravím, mám příklad se zadáním:
Vypočtěte integrál dané funkce přes množinu $\Omega$ omezenou zadanými křivkami.
$\int_{\Omega }^{}\int_{}^{} (x-y) dx dy$ , $\Omega : y = 0, y = x, x + y = 2$

Po sestavení integrálu mi vychází -2/3 pro $\int_{0}^{1}\int_{x}^{2-x}(x-y) dy dx$ i pro $\int_{0}^{2}\int_{y}^{2-y}(x-y) dx dy$ . Správný výsledek má být 2/3. Stačí mi v tomto případě prostě vzít absolutní hodnotu (jelikož se jedná vlastně o obsah té plochy ohraničené křivkami, takže nemůže být záporný), nebo při výpočtu dělám nějakou větší chybu?

Můj výpočet:
$\int_{0}^{2}\int_{y}^{2-y}(x-y) dx dy = \int_{0}^{2}[\frac{x^2}{2}-xy]_{y}^{2-y} = ... = \int_{0}^{2}(2y^2 - 4y + 2) dy = [\frac{2}{3}y^2-2y^2+2y]_{0}^{2} = \frac{2}{3} . 8 - 8 + 2 = \frac{16}{3} - 6 = \frac{16-18}{3} = -\frac{2}{3}$

Předeím díky za radu

laszky · 31. 10. 2019 12:49 — Editoval laszky (31. 10. 2019 13:00)

↑ Pluhtik:

Ahoj, mas prohozene promenne. Proto ti to vychazi s opacnym znamenkem. Spravne mas pocitat:

$\int_{0}^{1}\int_{y}^{2-y}(x-y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$

Edit: Nejedna se o obsah plochy ohranicene krivkami, ale o "objem" po grafem funkce f(x,y)=x-y, ktery ale muze klidne vyjit zaporny, pokud bude funkce f v integracni oblasti zaporna.

krakonoš

↑ Pluhtik:
Ahoj,
buď bys musel použít postup , který uvádí kolega laszki,
nebo se nabízí ještě možnost
$\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x-y)dydx+\int_{1}^{2}\int_{0}^{2-x}(x-y)dydx$ ,
pokud trváš na pořadí dydx a funkci x-y.

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2019 11:23 — Editoval Pluhtik (31. 10. 2019 11:23)

Dvojitý integrál

#2 31. 10. 2019 12:49 — Editoval laszky (31. 10. 2019 13:00)

Re: Dvojitý integrál

#3 31. 10. 2019 13:24 — Editoval krakonoš (31. 10. 2019 13:32)

Re: Dvojitý integrál

Zápatí