Matematické Fórum

gestapák · 09. 10. 2019 22:19

Čau.

Snažím se už nějakou dobu pochopit transformátor a to mě přivedlo k následujícímu jednoduššímu obvodu:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/48696_obvod.jpg

Všechna písmena jsou kladné veličiny. Pokud chci zjistit proudy ve smyčkách, je to řešení soustavy dvou dif. rovnic. Doufám, že to mám správně včetně znamének - upozorňuju, že mi jde jen o VELIKOST proudů ve smyčkách, takže tam nemám opačná znaménka pro opačnou orientaci proudu/napětí.

čili

Jestli jde tahle soustava řešit, mohl by to někdo udělat? Sám to rozhodně nesvedu a wolfram s tím nic nedělá. Nebo jestli je nějaký způsob, jak aspoň přibližně popsat průběh proudů.

Hlavně mě to ale zajímá z hlediska přenosu energie, resp. výkonu. Jestli to chápu správně, tak z první smyčky se přenáší výkon z prvního induktoru, tj , do druhé smyčky a měl by být roven výkonu proudu v sekundární smyčce (energie mag. pole se mění na energii proudu). Teď si ale nejsem jistý, jestli se v té sekundární smyčce jedná jen o "činný" výkon na rezistoru. Myslím ale, že by měl, protože kdyby ne a počítal by se do toho i výkon na druhém induktoru, nesměl by to být proud z řešení soustavy rovnic výše, protože to vzájemné ovlivňování je už zahrnuto v tom řešení. Co vy na to?

edison · 10. 10. 2019 14:53

gestapák napsal(a):
Hlavně mě to ale zajímá z hlediska přenosu energie, resp. výkonu. Jestli to chápu správně, tak z první smyčky se přenáší výkon z prvního induktoru, tj , do druhé smyčky a měl by být roven výkonu proudu v sekundární smyčce (energie mag. pole se mění na energii proudu). Teď si ale nejsem jistý, jestli se v té sekundární smyčce jedná jen o "činný" výkon na rezistoru. Myslím ale, že by měl, protože kdyby ne a počítal by se do toho i výkon na druhém induktoru, nesměl by to být proud z řešení soustavy rovnic výše, protože to vzájemné ovlivňování je už zahrnuto v tom řešení. Co vy na to?

Pro začátek si to zjednodušme:
R1=0, M=1, R2=1 ohm, ale sekundární smyčku necháme zatím rozpojenou, L1=L2=1 H, U=1 V. Po zapnutí napájení bude skrz L1 procházet lineárně rostoucí proud:
$i_{1}=\frac{Ut}{L}=\frac{1t}{1}=t$

V magnetickém poli se bude hromadit energie:
$E=\frac{1}{2}Li_{1}\text{}^{2}=\frac{1}{2}t^{2}$

Na sekundáru se objeví napětí shodné s U, tedy 1 V.
Počkáme na t=1:
i1=1 A, E=0,5 J

Nyní zapneme sekundární smyčku. R2 začne odebírat 1 A, protože je na něm 1 V. Primární proud se zvýší o 1 A. Přenáší se výkon 1 W a přitom se stále hromadí energie v magnetickém poli. Máme tedy:
i1=2 A, i2= 1A, E=0,5 J

Počkáme 1s, na t=2:
$i_{1}=i_{2}+\frac{Ut}{L}=i_{2}+\frac{1t}{1}=i_{2}+t=1+2=3 A$
Odporem R2 stále prochází 1 A, sekundární výkon je stále 1 W, primár ale už žere 3 W, z toho 2 se ukládají do magnetického pole, a 1 přenáší na sekundár.
Do magnetického pole se už uložila energie:
$E=\frac{1}{2}Li_{l}\text{ }^{2}=\frac{1}{2}t^{2}=2 J$

S pokračujícím časem dál poroste i1 a nemění se i2, až to nakonec vyhoří:-)
Což je důvod, proč nejde přímo transformovat DC proud.

MichalAld

gestapák napsal(a):
Jestli jde tahle soustava řešit, mohl by to někdo udělat? Sám to rozhodně nesvedu a wolfram s tím nic nedělá. Nebo jestli je nějaký způsob, jak aspoň přibližně popsat průběh proudů.

Je to sice asi ten nejsložitější způsob, jak pochopit funkci transformátoru, ale budiž.
Dále si to ještě trochu zjednodušíme - totiž R1 nebudeme zatím uvažovat, a také nebudeme uvažovat rozptylové induknčosti transformátoru - tedy budeme předpokládat, že (reálně je M vždycky trochu menší):

$M = \sqrt{L_1 L_2}$

Dále budeme potřebovat vztah mezi indukčností a počtem závitů. Což je:

$L_1 = L_0 N_1^2$
$L_2 = L_0 N_2^2$
$M = \sqrt{L_1 L_2} = L_0 N_1 N_2$

L0 je vlastně taková hypotetická indukčnost jednoho závitu.
Také budeme předpokládat, že do transformátoru pouštíme sinusový signál (málokdy tam pouštíme něco jiného). Potom můžeme diferenciální rovnice převést na algebraické (v komplexním oboru) - je to standardní trik. Odpovídá vlastně tomu, že obvod napájíme signálem typu

$u = U e^{j \omega t}$

Pokud by nás zajímala odezva na jiný signál, není velký problém výsledek zase převést do diferenciálního tvaru.

Takže máme tedy rovnice (napíšu je raději znovu):
$u_1 = L_1 i_1' + M i_2'$
$0 = M i_1' + L i_2' + R_2 i_2$

Zde bych ještě podotknul, že je dobré si také označit konce cívek ... ale hlavně - musíme si dávat extrémní pozor na znaménka. Je jedno, jak si zvolíme proudy, i jak konce cívek - ale pokud popleteme znaménka (zejména ta kolem vzájemné indukčnosti) tak se nám nakonec nevyruší to, co se má vyrušit a vyjde úplný nesmysl.

Po převedení na algebraický tvar (můžeme také říct, že na to aplikujeme Fourierovu transformaci) dostaneme:
$U_1 = jX_1I_1 + jX_MI_2$
$0 = jX_MI_1 + jX_2I_2 + R_2I_2$

Teď už nás čeká jen práce. Je to obyčejná soustava lineárních (algebraických) rovnic, vyřešit ji znamená vlastně nalézt inverzní matici k matici pravé strany rovnic. Tahle soustava je ale jen druhého řádu, navíc tam nemáme napětí U2, takže to půjde i jednodušeji:

Z druhé rovnice vyjádříme I1 (mezikroky budu vynechávat, to bych to tu psal do večera):

$I_1 = -\frac{jX_2 + R_2}{jX_M} I_2$

A po dosazení do první rovnice dostaneme:

$U_1 = I_2 [ -jX_1 \frac{jX_2 + R_2}{jX_M} + jX_M ]$

To už je vlastně vztah mezi primárním napětím a sekundárním proudem. Teď už to stačí jen trochu upravit. Musíme si ovšem vzpomenout na ty vztahy, co jsem uvedl na začátku, mezi indukčností a počty závitů.

$U_1 = I_2 [ -j\frac{jX_1X_2}{jX_M} + jX_M - \frac{ jX_1R_2}{jX_M}]$

A teď, když si uvědomíme, že $L_1L_2 = M^2$ , tedy že i $X_1X_2 = X_M^2$ , zjistíme, že ten první komplikovaný člen v závorce nám zmizí.

$U_1 = I_2 [ -jX_M + jX_M - \frac{ jX_1R_2}{jX_M}]$

$U_1 = I_2 [-\frac{ jX_1R_2}{jX_M}]$

A to už je vlastně výsledek. Proud nám vychází se záporným znaménkem, protože jsme si ho na začátku namalovali obráceně, než ve sktuečnosti teče. Ty j-čka můžeme rovnou vykrátit, a když použijeme naše vztahy mezi indukčností a počtem závitů, dostaneme se nakonec k tomu, co běžně známe:

$U_1 = I_2 [-\frac{ \omega L_1 R_2}{\omega M}] = I_2 [-\frac{ \omega L_0 N_1^2 R_2}{\omega L_0 N_1 N_2}] = - I_2 [\frac{N_1}{N_2} R_2]$

$U_1 = - I_2 \frac{N_1}{N_2} R_2$

Tohle už je ten známý vzorec pro transformátor. Proud I1 si můžeš zkusit odvodit sám, když tento výsledek vhodně dosadíš... mělo by vyjít, že krom přetransformovaného proudu I2 obsahuje ještě reaktanční složku protékající primárním vinutím, ted L1 - říká se tomu magnetizační proud.

Stejně tak si můžeš celý postup doplnit o odpory vinutí (tedy o ten R1), pokud se navrhuje reálný transformátor, je tohle jednou z klíčových věcí, která návrh vlastně limituje. Protože činný odpor primárního vinutí musí být mnohem menší než jeho reaktanční odporu (lidově "odpor menší než indukčnost"). Jenže na větší indukčnost potřebujeme zase více drátu, a to znamená větší odpor - takže nezbude, než dávat větší jádro. Dále musí být indukčnost tak velká, aby byl primární proud tak malý aby nebylo dosaženo nasycení v jádře.

Přenášený výkon vlastně transformátor nijak neomezuje (jen odporem vodičů těch dvou cívek). Limitující je ta indukčnost primární cívky. Lze to řešit také tak, že použijeme vyšší frekvenci. To se dělá třeba v těch spínaných zdrojích - potom je tam transformátor úplně malinký (na feritovém hrníčku). Protože při vyšši frekvenci má primární cívka větší reaktanci - takže nemusí mít tak velkou indukčnost.

PS:
Vzhledem k tomu, že odvozená rovnice neobsahuje žádné "j-čko", platí v principu i pro stejnosměrné napětí. Ovšem, když si odvodíš rovnici pro primární proud, už to tak nebude. A pokud bys chtěl takovou situaci analyzovat správně, musíš vzít v úvahu i ten odpor R1, protože jinak by magnetizační proud cívkou L1 narůstal pořád ... a to je nesmysl.

edison · 13. 10. 2019 14:41

↑ MichalAld:Moc pěkné. Sice občas transformátory navrhuju, ale tohle bych nedal:-)

Jen poznámka:

do transformátoru pouštíme sinusový signál (málokdy tam pouštíme něco jiného).

To už hezkých pár desetiletí neplatí, dnes spínané zdroje převažují víc než řádově, takže typickým průběhem napětí je obdélník, navíc v drtivé většině případů nesymetrický.

A z té nesymetrické většiny jsou zas skoro všechny typu flyback, tedy energie se transrferuje v době, kdy primárem neprochází proud. Tzn. v prvním kroku se nabíjí primární indukčnost, v druhém se po vypnutí primáru na sekundární straně odebírá proud. Z různých důvodů vychází tato konfigurace u malých výkonů nejlevnější.

MichalAld · 13. 10. 2019 22:33

edison napsal(a):
↑ MichalAld:Moc pěkné. Sice občas transformátory navrhuju, ale tohle bych nedal:-)

Samotného mě to překvapilo - včera někdy před půlnocí jsem dostal chuť zkusit, jesli ještě umím trochu počítat ... vím, že ty indukčnosti by se měly nějak vyrušit, a byl jsem sám zvědavý, jestli to dopadne...

edison napsal(a):
A z té nesymetrické většiny jsou zas skoro všechny typu flyback, tedy energie se transrferuje v době, kdy primárem neprochází proud. Tzn. v prvním kroku se nabíjí primární indukčnost, v druhém se po vypnutí primáru na sekundární straně odebírá proud. Z různých důvodů vychází tato konfigurace u malých výkonů nejlevnější.

Já vím, že dnes jsou spínané zdroje asi nejrozšířenějí použití transformátorů, ale nechtěl jsem se do toho moc zamotat. Navíc - zejména u těchto měničů co zmiňuješ (blokujcící měniče ?) se to v podstatě nechová jako transformátor, spíš něco jako "spínaný induktor" - analogicky dle "spínaných kapacitorů" ... protože ta hlavní myšlenka transformátoru - že magnetické pole vytvořené primárním a sekundárním proudem se navzájem ruší - už se tam nevyužívá.

A obávám se, že tahle zapojení (obsahující principiálně nelineární prvky) už nelze analyzovat tím algebraickým způsobem (pomocí reaktancí a impedancí) a musíme diferenciální rovnice řešit přímo.

edison · 14. 10. 2019 02:00

Ono je to naopak jednoduší. V praxi je to vždy potřeba navrhnout tak, že odpory jsou z hlediska průběhů zanedbatelné a tak se pak můžou zanedbat i ve výpočtech. Když je po zapnutí na primáru 320 V, tak je jedno, že z toho bude 0-3 V úbytek napětí na tranzistoru a podobně na odporu drátu:-)

Takže se nakonec dostaneme k triviálnímu lineárnímu vztahu

$i_{prim} = i_{SecTransf}+i_{ZbyvajiciZminule}+\frac{Ut}{L}$

(v případě blokujícího měniče pak navíc ani není transformovaný proud)
A tím máme vyřešeno téměř vše ohledně průběhu proudu:-)
No a pak je klasické:

$\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{i_{2}}{i_{1}}$

Pak jsou samozřejmě nějaké detaily, jak to celé navrhnout, ale základ je výšeuvedené.

edison · 14. 10. 2019 13:14 — Editoval edison (14. 10. 2019 13:15)

Vlastně je v tom primárním proudu kromě magnetizačního max. jen jeden další. Když je to propustný měnič a je tam transformovaný sekundární proud, tak tam zas nezbývá žádný magnetizační od minule, ten se vždy důsledně likviduje.

---
Ale teď by se taky měl vyjádřit původní tazatel, zda mu to takhle stačí, či zda má nějaké dotazy:-)

gestapák

Jsem zpět :) Měl jsem trochu moc práce (a zábavy) a zapomněl na vlákno. To je u mě normální. //forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/61435_facepalm.png

Taky jsem si uvědomil, že tam mám blbost: je okamžitá energie a ne výkon, ale to už je asi jedno :)

edison napsal(a):
Pro začátek si to zjednodušme:
R1=0, M=1, R2=1 ohm, ale sekundární smyčku necháme zatím rozpojenou, L1=L2=1 H, U=1 V. Po zapnutí napájení bude skrz L1 procházet lineárně rostoucí proud:
$i_{1}=\frac{Ut}{L}=\frac{1t}{1}=t$

V magnetickém poli se bude hromadit energie:
$E=\frac{1}{2}Li_{1}\text{}^{2}=\frac{1}{2}t^{2}$

Na sekundáru se objeví napětí shodné s U, tedy 1 V.
Počkáme na t=1:
i1=1 A, E=0,5 J

Tak moment. Tohle je "DC transformátor" naprázdno (který je mi jasný i v "AC verzi"), když druhá smyčka je rozpojená. Ale jak jsi došel k lineárně rostoucímu proudu? Vždyť s druhou smyčkou rozpojenou je to prostě DC RL obvod, kde proud je . R1 nemůže být rovno nule - výraz nedává smysl. Proto jsem tam dal R1 - protože u střídavého proudu je tam ještě reaktance, takže odpor primárního vinutí lze teoreticky zanebat a položit rovný nule, aniž by to celé ztratilo smysl. U DC obvodů to nejde.

MichalAld napsal(a):
Také budeme předpokládat, že do transformátoru pouštíme sinusový signál (málokdy tam pouštíme něco jiného).

No tak jasně, jsem s tím obeznámen. Chtěl jsem ale nejdřív prozkoumat DC obvod, protože mi to přijde v principu jednodušší. BTW záměrně jsem použil inukčnosti L bez návaznosti na počet závitů, protože se mi to z různých důvodů nelíbí (geometrie cívek může být odlišná i jinak, než jen co se týče poštu závitů - chápu ale, že je to stejně jenom přiblížení, protože pro žádané mag. pole v cívkách je třeba uvažovat v podstatě nekonečně dlouhý a "hustě navitý" solenoid), Nevím, jestli je nutné pracovat s počty závitů.

MichalAld · 01. 11. 2019 00:34

↑ gestapák:
Výsledný vztah ovšem neobsahuje $\omega$ , tudíž nezávisí na frekvenci, tudíž platí i pro stejnosměrné napětí. Ovšem za předpokladu, že tam je nulový odpor primárního vinutí...protože (což už jsem neodvozoval) v takovém případě bude proud primárním vinutím pořád narůstat...v principu až do nekonečna...

Pokud ti vadí, že je to odvozené pro sinusové signály, můžeš si formálně nahradit $\omega$ operátorem derivování $d \over dt$ a máš to pro obecný signál (tedy i pro ss), jen je třeba mít na paměti, že $1 / {d \over dt}$ představuje integrování

edison · 01. 11. 2019 01:14

gestapák napsal(a):
Tak moment. Tohle je "DC transformátor" naprázdno (který je mi jasný i v "AC verzi"), když druhá smyčka je rozpojená. Ale jak jsi došel k lineárně rostoucímu proudu? Vždyť s druhou smyčkou rozpojenou je to prostě DC RL obvod, kde proud je . R1 nemůže být rovno nule - výraz nedává smysl. Proto jsem tam dal R1 - protože u střídavého proudu je tam ještě reaktance, takže odpor primárního vinutí lze teoreticky zanebat a položit rovný nule, aniž by to celé ztratilo smysl. U DC obvodů to nejde.

Začátek průběhu je rovný, se sklonem dle U/L, ale protože roste napětí na odporu, klesá co zbývá na indukčnost. Graf se ohýbá, protože se cívka nabíjí čím dál pomaleji, jak klesá U/L.

Ten můj vzorec je vlastně limita toho obecného. Takže dokud stavíme transformátor a ne topení, můžeme účinek R na průběhy v rozumném čase zanedbat:-)

Když je nezanedbáme, zjistíme, že spolu s napětím na primární indukčnosti, klesá i sekundární. Jenže nezanedbatelně se to děje až v čase, který se prakticky nepoužívá.

edison · 01. 11. 2019 15:32

Ještě poznámka:

gestapák napsal(a):
u střídavého proudu je tam ještě reaktance, takže odpor primárního vinutí lze teoreticky zanebat a položit rovný nule, aniž by to celé ztratilo smysl. U DC obvodů to nejde.

Tohle je zásadní nepochopení: Reaktance je právě důsledek faktu, že proud se mění rychlostí U/L, resp. u AC to bude u/L. Proto taky reaktance roste s frekvencí - cívka má méně času na růst proudu.

Je taky dobré si uvědomit, že rozdíl mezi AC a DC obvody může být dost malý: Třeba při obdélníkovém průběhu můžeme často tvrdit, že je to vlastně DC, jen cívka ještě neví, že to za mikrosekundu skončí a za dalších 5 začne nanovo s opačnou polaritou:-)

edison · 01. 11. 2019 18:37

A kdybychom chtěli být realističtí, tak je také zajímavé, jak se chová cívka s jádrem. To se časem nasytí a indukčnost klesá, takže proud neroste lineárně, ale čím dál rychleji.

Zpočátku je ta nelinearita malá (to je běžně využívaná pracovní oblast), pak začne proud růst stále rychleji a pokud to řídící obvod včas nezastaví, bude brzy pozdě, protože při saturaci indukčnost klesne na hodnotu blízkou té bez jádra, tedy klidně 100-1000x a proud poroste ve stejném poměru rychleji.

Dejme tomu, že pak konečně nepovedený řídící obvod zareaguje, jenže spínací prvek vyhoří v průběhu vypínacího procesu, ... proud roste dál a už je tak velký, že se nárůst začíná zpomalovat - teď je konečně nezanedbatelný úbytek napětí na odporu drátu. A shoří drát, nebo pojistka:-)

edison · 01. 11. 2019 19:02 — Editoval edison (01. 11. 2019 19:14)

Našel jsem hezký obrázek:

žlutá - ON/OFF
zelená - primární proud
tmavě modrá - sekundární proud
světle modrá - napětí

(sekundár je zatížen spotřebičem napěťového typu, nevodivý pro polaritu při ON)

edison · 02. 11. 2019 21:51

A když už jsem kvůli jinému tématu pouštěl simulátor, tak tady taky obrázek:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-11/27176_civky.png
Napájecí napětí 300 V, cívky mají všechny 1 mH. Hodnoty realistické u malého trafa ve zdroji se vstupem 230 V AC.
Odpory 1 mOhm, 1 ohm a 2 ohmy.

Je vidět, jak při zanedbatelném R je průběh rovný a ty vyšší se od něj odklánějí.

A tady zoom téhož grafu na proudy realistické u trafa s primárním odporem 1 ohm:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-11/27598_civky2.png

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2019 22:19

Indukčně vázané obvody

#2 10. 10. 2019 14:22 Příspěvek uživatele edison byl skryt uživatelem edison. Důvod: omylem odesláno nedokončené

#3 10. 10. 2019 14:53

Re: Indukčně vázané obvody

gestapák napsal(a):

#4 13. 10. 2019 12:03 — Editoval MichalAld (13. 10. 2019 12:08)

Re: Indukčně vázané obvody

gestapák napsal(a):

#5 13. 10. 2019 14:41

Re: Indukčně vázané obvody

#6 13. 10. 2019 22:33

Re: Indukčně vázané obvody

edison napsal(a):

edison napsal(a):

#7 14. 10. 2019 02:00

Re: Indukčně vázané obvody

#8 14. 10. 2019 13:14 — Editoval edison (14. 10. 2019 13:15)

Re: Indukčně vázané obvody

#9 01. 11. 2019 00:20 — Editoval gestapák (01. 11. 2019 00:22)

Re: Indukčně vázané obvody

edison napsal(a):

MichalAld napsal(a):

#10 01. 11. 2019 00:34

Re: Indukčně vázané obvody

#11 01. 11. 2019 01:14

Re: Indukčně vázané obvody

gestapák napsal(a):

#12 01. 11. 2019 15:32

Re: Indukčně vázané obvody

gestapák napsal(a):

#13 01. 11. 2019 18:37

Re: Indukčně vázané obvody

#14 01. 11. 2019 19:02 — Editoval edison (01. 11. 2019 19:14)

Re: Indukčně vázané obvody

#15 02. 11. 2019 21:51

Re: Indukčně vázané obvody

Zápatí