Matematické Fórum

aniuce · 18. 10. 2016 13:27

Dobrý den,
prosím o radu k důkazu

Dokažte, že spojnice pat dvou výšek ostroúhlého trojúhelníku od něho odděluje trojúhelník
jemu podobný.

děkuji

Rumburak

↑ aniuce:

Ahoj. Zkusil bych zkoumat úhly.

Mějme tedy ostroúhlý trojúhelník $\Delta ABC$ s tradičním označením stran a úhlů. Označme dále $B'$ patu výšky z bodu $B$
a $C'$ patu výšky z bodu $C$ . Dostaneme trojúhelník $\Delta AB'C'$ (mající ovšem "cyklickou orientací" opačnou než $\Delta ABC$ )
s úhly $\alpha, \beta ', \gamma'$ po řadě odpovídajícími příslušným vrcholům. Snažme se dokázat, že

(1) $\beta' = \beta, \gamma' = \gamma$ .

Je zřejmé, že $\beta' + \gamma' = \beta + \gamma = \pi - \alpha$ , takže ze vztahů (1) už stačí dokázat pouze jeden.

vanok · 18. 10. 2016 17:56

Ahoj ↑ aniuce:,
Tu je dobre pouzit orticky trojuholnik
Oznac päty vysok $H_A,H_B,H_C$ ( tie tvoria orticky trojuholnik)
Nakresli si to a vyuzi kocyklicke stvorice bodov.

Eratosthenes

ahoj ↑ aniuce:,

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/23046_podobnost.png

ACC'~ ABB' => $\frac {|AB|} {|AC|} =\frac {|AB'|} {|AC'|}$ = ABC ~ AC'B' (sus)

vanok · 18. 10. 2016 23:03 — Editoval vanok (19. 10. 2016 00:59)

Tu ↑ vanok: som pisal o kocyklickych bodoch. To sa da pouzit napr. takto $B,H_B,H_C,C$ su kocyklicke.
Tak $\sphericalangle AH_CH_B=\pi -\sphericalangle BH_CH_B=\sphericalangle ACB$ .

Poznamka . Co kolega znaci napr. $B'$ ja znacim $H_B$ ... atd.

Johana16 · 30. 10. 2019 14:31

↑ Rumburak:

Dobrý den,
mohla bych Vás poprosit, zda byste mi neporadil s dalším postupem při řešení příkladu? Začátek jsem pochopila, ale nevím si moc rady, jak dál..
Děkuji!