Matematické Fórum

Ginco · 01. 06. 2009 12:38 — Editoval Ginco (01. 06. 2009 12:55)

Ahoj, chtěl bych prosim zkontrolovat postup.

$\textrm{Urcete obor konvergence dane rady a soucet}$

$\sum_{n=1}^\infty{(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})x^n}$

$R=\frac{1}{lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}=1$

x_0=0.....R=1

Zjistim konvergenci v krajnich bodech intervalu

a. x=1

zjišťuji konvergenci řady $\sum_{n=1}^\infty{(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})}$

zkusím integrální kritérium.. $\int_{1}^{\infty}\frac{2t+1}{t^2+t}dt=\text{substituce}=[ln(t^2+t)]_{2}^{\infty}=\infty$ ...takže protože diverguje integrál, tak diverguje i daná řada, tedy x=1 nepatří do oboru konvergence

b. x=-1

Zjistím, že daná řada není absolutně konvergentní..zkusím leibnitzovo kritérium- oba předpoklady jsou splněny, tedy řada konverguje neabsolutně(relativně)

Takže obor konvergence je $J_k=<-1;1)$

Ted akorát nevím, jak tuto řadu sečíst, zkoušel jsem ji zintegrovat, ale pak dál nevím co dál :-)

Díky za pomoc

Kondr · 01. 06. 2009 12:43

↑ Ginco:Až bude co kontrolovat, tak to někdo jistě rád zkontroluje :)

Limita podílu dvou po sobě jdoucích koeficientů je 1, poloměr konvergence je proto 1, zbývá rozmyslet krajní body intervalu (-1,1).

Ginco · 01. 06. 2009 12:55

↑ Kondr:

Jasně, klikl jsem Odeslat místo náhled...čekal jsem reakci daného typu :-)

Ginco · 01. 06. 2009 14:01

ještě bych se chtěl zeptat, jaky postup užít pro výpočet Maclaurinova rozvoje funkce : $f(x)=arcsinx$

díky

Kondr · 01. 06. 2009 14:35

Tu řadu bych rozdělil na dvě:
$F_1(x)=\sum_{n=1}^\infty{(\frac{1}{n})x^n}$ a $F_2(x)=\sum_{n=1}^\infty{(\frac{1}{n+1})x^n}$
tu první zderivujeme: $F'_1(x)=\sum_{n=0}^\infty{x^n}=\frac{1}{1-x}$
zpětným zintegrováním $F_1(x)=ln(1-x)+C$ , protože F(0)=0, máme i C=0, $F_1(x)=ln(1-x)$ . Podobně
$G(x)=xF_2(x)=\sum_{n=1}^\infty{(\frac{1}{n+1})x^{n+1}}$
$G'(x)=\sum_{n=1}^\infty{x^n}=\frac{x}{1-x}=\frac{1}{1-x}-1$
$G(x)=ln(1-x)-x+C$ , opět C=0
$F_2(x)=\frac{ln(1-x)-x}{x}$
Použité součty geometrických řad fungují jen pro x>-1, pro x=-1 je potřeba sečíst zvlášť.

Ginco · 01. 06. 2009 15:05

↑ Kondr:

Díky za rady : ale mam pár dotazů : když tam máš F(0)=0 tak to mam brát jako F(x_0)=0 ?

pak jen taková drobnost či co... $\int{\frac{1}{1-x}=-ln(1-x)+C}$

a ten závěr...Ta jednotka tam tedy nepatří neboť v ní není definovaná ani F_1(x) ani F_2(x)? promiň, ale trochu jsem to nepochopil, ani s tou -1

Ginco · 01. 06. 2009 20:48 — Editoval Ginco (01. 06. 2009 20:49)

Může mi někdo pls pomoct s tímto?
Určete Maclaurina f(x)+poloměr konvergence
$f(x)=arcsinx$

Zkoušel jsem to zderivovat a představit si to jako součet řady, pak jsem se snažil z toho vykoumat řadu a následně jí zintegrovat..ovšem marně ...asi díky té odmocnině v derivaci arcsinx.

Koukal jsem na wiki na tu výslednou řadu a tuším, že takto to nepůjde..

Kondr · 01. 06. 2009 21:37 — Editoval Kondr (01. 06. 2009 21:42)

↑ Ginco:To F_1,F_2 jsou součty řad. Protože ty řady v 1 nekonvergují, tak F_1 ani F_2 nemá smysl. V -1 zase nekonvergují jejich derivace, takže se to tam nedá počítat přes tu derivaci, ale je potřeba do sumy v zadání dosadit x=-1 a spočítat pár prvních členů, ono je vidět, že se to odečte a zbude jenom -1.

S tím F(0)=0 jsem to myslel tak, že když za x dosadím 0, musí součet řady vyjít 0, napsal jsem ale F omylem bez indexu. S tím mínusem před logaritmem máš samozřejmě pravdu.

Jinak u arcsinu si můžeš napsat 1/(1-x^2)=1+x^2+x^4+x^6+.... a zkusit to odmocnit; výsledek pak stačí zintegrovat. Další možnost je jít na to podle definice a najít tvar n-té derivace a vyčíslit v nule. Nevím, co je rychlejší.

Ginco · 01. 06. 2009 22:04 — Editoval Ginco (01. 06. 2009 22:07)

↑ Kondr:

díky..akorát mam ještě dotaz ohledně mého postupu přes integrální a leibnitzovo kritérium : bylo to tedy nesprávně použito?Protože ten interval(pokud jsem to správně pochopil) je <-1,1)

akorát ten Maclaurin mě docela straší...

P.S.

jo a nakonec je to opravdu asi F(x_0)=0 :-)

Kondr · 01. 06. 2009 22:08

↑ Ginco:Na intervalu <-1,1) jsme se shodli, do toho prvního příspěvku jsem to dopisoval ještě před tvým editem, oba postupy jsou rovnocenné (ale obvykle postup s limitou podílu koeficientů bývá rychlejší, protože integrál nemusí vždy vyjít tak jednoduše).

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2009 12:38 — Editoval Ginco (01. 06. 2009 12:55)

mocninné řady

#2 01. 06. 2009 12:43

Re: mocninné řady

#3 01. 06. 2009 12:55

Re: mocninné řady

#4 01. 06. 2009 14:01

Re: mocninné řady

#5 01. 06. 2009 14:35

Re: mocninné řady

#6 01. 06. 2009 15:05

Re: mocninné řady

#7 01. 06. 2009 20:48 — Editoval Ginco (01. 06. 2009 20:49)

Re: mocninné řady

#8 01. 06. 2009 21:37 — Editoval Kondr (01. 06. 2009 21:42)

Re: mocninné řady

#9 01. 06. 2009 22:04 — Editoval Ginco (01. 06. 2009 22:07)

Re: mocninné řady

#10 01. 06. 2009 22:08

Re: mocninné řady

Zápatí