Matematické Fórum

Michal23

Dobrý večer všem,
potřeboval bych trochu pomoct s vyšetřením vlastností binární operace $*$
Zadání zní takto:

$\forall a,b \in \mathbb{Z}: a * b = 3^{a} + 2^{b}$

0) Jedná se o binární operaci? Zobrazujeme ze $\mathbb{Z}^{2}$ do $\mathbb{Z} \Rightarrow$ ANO
1) Komutativnost: $3^{a} + 2^{b} \ne 3^{b} + 2^{a} \Rightarrow$ Není komutativní
2) Asociativita: $(a*b)*c = (3^{a} + 2^{b}) * c = 3^{(3^{a} + 2^{b})}+2^{c}=3^{3a}\cdot 3^{2b} + 2^{c}$
$a*(b*c) = a * (3^{b} + 2^{c}) = 3^{a} + 2^{(3^{b} + 2^{c})}=3^{a}+2^{3b}\cdot 2^{2c}$

$\Rightarrow$ Není asociativní

3) Neutrální prvek $e$

$\exists e: a*e=e*a=a$
$3^{a}+2^{e}=a$ $3^{e}+2^{a}=a$

Rovnice není možné upravit tak, abychom dostali samostatný $e\Rightarrow \neg\exists e\Rightarrow \neg \exists \text{ inverní prvky}$

4) Agresivní prvek $g$

$\exists g: a*g=g*a=g$
$3^{a}+2^{g}=g$ $3^{g}+2^{a}=g$

Rovnice není možné upravit tak, abychom dostali samostatný $g\Rightarrow \neg\exists g$

Je postup správně nebo někde mám něco vyladit?

vlado_bb

↑ Michal23: Body $0$ a $1$ su v poriadku.

Bod $2$ : Odkial vieme, ze prave strany oboch tvojich riadkov su rozne? Skus to nejako jednoduchsie. To sa vlastne tyka aj bodu $1$ . Ako vieme, ze $3^a+2^b$ sa nerovna $3^b+2^a$ ? Rozpis si podrobne "relacia $*$ je komutativna" a potom urob negaciu - a uvidis, co treba urobit.

Body $3$ a $4$ : Podla mna by zaver mal byt bud taky, ze neutralny (agresivny) prvok existuje a je to toto cislo, alebo ze neexistuje a jasne zdovodnene, preco neexistuje.

Michal23 · 02. 11. 2019 21:16

Stačí, když u toho dosadím nějaké celé různé čísla a vypočítám? U $1$ a $2$

vlado_bb · 02. 11. 2019 21:17

↑ Michal23: Ano.

Michal23 · 02. 11. 2019 21:55

Jak mám v případě toho agresivního a neutrálního prvku zdůvodnit jeho $\neg\exists$ ?
Na jedné straně mohu mít vždy pouze umocněné číslo a základy stejné nemám, aby mohl porovnávat mocniny

vlado_bb · 02. 11. 2019 22:20

↑ Michal23: $n$ je neutralny prvok operacie $*$ , ak PRE VSETKY $a$ je $a*n=a$ . Staci takto?

laszky · 02. 11. 2019 23:59

↑ Michal23:

Ahoj, pokud $\mathbb{Z}$ znaci cela cisla, pak napr.
$-1*0 = 3^{-1}+2^0 = \frac{4}{3} \not\in\mathbb{Z}$

vlado_bb · 03. 11. 2019 08:02

↑ laszky:To je pravda ... neviem preco som po cely cas uvazoval o tejto operacii iba na prirodzenych cislach ... ↑ Michal23: - over si prosim zadanie.

Michal23 · 03. 11. 2019 09:39

Ano, máte pravdu, v případě celých čísel není operace binární. Takže by nemělo smysl pokračovat od kroku 0) dál.

A když zadání poupravím na přirozená čísla?

Komutativita i asociativita mi je jasná, pokud jsem ji správně zapsal, ale u neutrálního prvku (i agresivního) jsme se zasekl.

$\exists e: a*e=e*a=a$ (e = neutrální prvek)
$3^{a}+2^{e}=a$
$2^{e}=a-3^{a}$

Jak mám pokračovat dál?

vlado_bb · 03. 11. 2019 09:48

↑ Michal23:Tak, ako som ti uz napisal. Neutralny prvok, ak existuje, je jeden PRE VSETKY prvky. Skus teda vziat $a=1$ .

Michal23

Takže všude dosadit, ano?

$1) \text{ komutativita:}$
$a*b=b*a$
$3^{a} + 2^{b} = 3^{b} + 2^{a}$ ...... a=1, b=2
$3^{1} + 2^{2} = 3^{2} + 2^{1}$
$3+4=9+2$
$7\ne11 \Rightarrow \text{Binární operace * není komutativní}$

$2) \text{ asociativita:}$
$(a*b)*c=a*(b*c)$
$(3^{a} + 2^{b}) * c=a * (3^{b} + 2^{c})$
$3^{(3^{a} + 2^{b})}+2^{c}=3^{a} + 2^{(3^{b} + 2^{c})}$ ...... a=1, b=1, c=1
$3^{(3^{1} + 2^{1})}+2^{1}=3^{1} + 2^{(3^{1} + 2^{1})}$
$243+2=3+32$
$245\ne35\Rightarrow \text{Binární operace * není asociativní}$

$3) \text{ neutrální prvek e:}$
$\exists e: a*e=e*a=a$
$3^{a}+2^{e}=a$ $3^{e}+2^{a}=a$
$2^{e}=a-3^{a}$ ...... a=1 $3^{e}=a-2^{a}$ ...... a=1
$2^{e}=1-3^{1}$ $3^{e}=1-2^{1}$
$2^{e}=-2$ $3^{e}=-1$
$\Rightarrow \neg\exists e \text{, protože } \neg\exists\text{ žádná mocnina, které by z kladného čísla vytvořila záporné a výsledek se nenachází v }\mathbb{N}$

Takže takto?
Pro agresivní prvek by to bylo podobné jako pro neutrální.

vlado_bb · 03. 11. 2019 10:27

↑ Michal23: V podstate ano, aj ked na moj vkus (skusajuceho) je tam malo slovneho komentaru a ten, ktory tam je, je niekedy nezmyselny (napriklad ten posledny riadok).

Michal23 · 03. 11. 2019 10:33

Ten agresivní prvek jsem jenom nechtěl už vypisovat, samozřejmě je to úplně něco jiného, ale také by vyšlo, že neexistuje. U zkoušení ho samozřejmě budu psát :).

Děkuji moc za vysvětlení.

vlado_bb · 03. 11. 2019 10:48

↑ Michal23: Mal som na mysli posledny LaTeX-ovy riadok. Za zrozumitelne vysvetlenie by som povazoval napriklad toto: "... a teda neutralny prvok operacie $*$ neexistuje, pretoze exponencialna funkcia nenadobuda zaporne hodnoty." No a cely ten pravy stlpec nad poslednym LaTeX-ovym riadkom je zbytocny.

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2019 20:25 — Editoval Michal23 (02. 11. 2019 22:00)

Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#2 02. 11. 2019 21:08 — Editoval vlado_bb (02. 11. 2019 21:17)

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#3 02. 11. 2019 21:16

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#4 02. 11. 2019 21:17

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#5 02. 11. 2019 21:55

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#6 02. 11. 2019 22:20

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#7 02. 11. 2019 23:59

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#8 03. 11. 2019 08:02

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#9 03. 11. 2019 09:39

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#10 03. 11. 2019 09:48

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#11 03. 11. 2019 10:21 — Editoval Michal23 (03. 11. 2019 10:25)

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#12 03. 11. 2019 10:27

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#13 03. 11. 2019 10:33

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

#14 03. 11. 2019 10:48

Re: Vyšetření vlastností binární operace (hvězdička)

Zápatí