Matematické Fórum

TB12 · 01. 06. 2009 21:52

Zdravim, mam takovehle zadani a nevim si rady. Vitana je jakakoliv pomoc, diky.

lukaszh · 01. 06. 2009 23:03

↑ TB12:
To zadanie je strašne priamočiare. Nie je na tom nič ťažké, len je to: spravte toto, potom toto, toto vypočítajte. To, že $a_n(x)=x^n$ znamená, že ak si dosadíš za k číslo, dostaneš funkciu. Počítať integrály by si mal na vysokej škole vedieť. Takéto elementárne už na strednej škole. Skalárny súčin je na priestore funkcií štandardne definovaný ako určitý integrál. Hranice máš v zadaní. Gramm-Schmidtovým procesom zistíš napríklad aj Legendrove polynómy, ortonormálna báza na priestore funkcií, t.j. $\langle f,g\rangle=0\,;\;||f||=||g||=1$ . Matica je zadaná, stačí počítať len integrály. Napríklad
$\langle a_2,a_1\rangle=\int_{1}^{2}x^2\cdot x^1\,\rm{d}x=\[\frac{1}{4}\cdot x^4\]_{1}^{2}=\frac{15}{4}$
V druhom si ten integrál treba rozpísať
$\int_{1}^{2}(2x^2-1)(x+1)\,\rm{d}x=2\cdot\int_{1}^{2}x^3\,\rm{d}x+2\cdot\int_{1}^{2}x^2\,\rm{d}x-\int_{1}^{2}x\,\rm{d}x-\int_{1}^{2}1\,\rm{d}x$
S vypočítanou tabuľkou to rýchlo zrátaš. V trojke máš zadanú bázu $\mathcal{A}=\{1,x,x^2\}$ . Z Gramm-Schmidtovho procesu najprv určím, že prvý vektor ortogonálnej bázy je $f_0=1$ . Druhý z x určím zo vzťahu
$f_1=x-\frac{\langle x,1\rangle}{\langle 1,1\rangle}\cdot1=x-\frac{3}{2}$
Teraz sa hľadá $f_2$ , podobne z priamočiareho výpočtu
$f_2=x^2-\frac{\langle x^2,1\rangle}{\langle 1,1\rangle}\cdot1-\frac{\left\langle x^2,x-\frac{3}{2}\right\rangle}{\left\langle x-\frac{3}{2},x-\frac{3}{2}\right\rangle}\cdot$x-\frac{3}{2}$=\;\cdots$

1) Výsledok pre kontrolu Zobrazit/skrýt!

2) Viac o Gram-Schmidt

Vektory ortogonálnej bázy musíš normalizovať
$e_k=\frac{f_k}{||f_k||}$
a dostaneš vektory ortonormálnej bázy. Pre normu platí
$||f_k||=\sqrt{\int_{1}^{2}f_k^2\,\rm{d}x}$

O Fourierovych radoch veľa neviem, ale určite ti niekto poradí alebo prípadne pohľadaj na internete. Nemyslím si, že pôjde o niečo náročné.

TB12 · 02. 06. 2009 13:40

Diky mockrat. Kouknu na to a kdyz neco nebudu vedet, tak se jeste ozvu. Jeste jednou diky.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2009 21:52

Kanonicka baze atd.

#2 01. 06. 2009 23:03

Re: Kanonicka baze atd.

#3 02. 06. 2009 13:40

Re: Kanonicka baze atd.

Zápatí