Matematické Fórum

Pozitron

Dobrý den, řešil jsem nerovnost: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}\ge 3a^{2}bc+ 3b^{2}ac+3c^{2}ba$
Vím že se má řešit sčítáním AG nerovností, nerovnost jsem vyřešil, ale to jaké AG nerovnosti mám sčítat jsem odhadl a ony by se mely počítat přes rovnice. Tak prosím o radu jak tyto členy nalézt.

nejsem_tonda · 07. 11. 2019 10:42

Ahoj, mně to přijde nejlepší uhodnout. V matice mi žádné "mělo by se" (protože si to někdo učitel/ka přeje) nedává smysl.

Šest členů vlevo je pro psaní rovnic hodně. Pokud nejdříve použijeme a další dvě cyklické nerovnosti, zbyde nam dokázat, že
(*)
Na této "menší nerovnosti" ukážu, jak soustavu rovnic použít. Řekněme, že nevidím, kolikrát namíchat členy , abych v AG dostal (ono to je vidět, ale řekněme, že se mi to prostě nedaří). Řeknu si, že člen vezmu K-krát, člen vezmu L-krát a člen vezmu M-krát (K, L, M můžou být klidně čísla menší než 1). Potom podle AG platí

Protože chci, abych napravo dostal člen , tak vlastně chci, aby platilo (koukám na exponenty)

Ve skutečnosti je tato soustava tří rovnic (stejně jako AG nerovnost) homogenní - pokud je nějaká trojice (K, L, M) řešením, je řešením i libovolný násobek této trojice. Z toho plyne, že se těmi zlomky nemusím obtěžovat, můžu předpokládat, že $K+L+M=1$ a řešit soustavu rovnic

Ta vzniká dost přirozeně, pokud od začátku pozoruju jenom exponenty. V nerovnosti (*) koukám na levé straně na exponenty u $a$ . Ty jsou postupně 2, 0, 2, proto $2K+0L+2M$ v první rovnici atd.

Není překvapením, že řešením soustavy je $K=\frac12, L=0, M=\frac12$ (nebo libovolný násobek), což se dalo odhadnout hned na začátku.

Podrobněji si lze o technikách s AG nerovností přečíst v tomto textu, který můžu vřele doporučit:
https://mks.mff.cuni.cz/common/show.php … chive/29/9
Konec strany 9 a strana 10 jsou přesně o tom, jak vyrobit příslušnou soustavu u podobných nerovností.

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2019 07:44 — Editoval Pozitron (07. 11. 2019 07:45)

Důkaz nerovností metodou sčítání AG nerovností

#2 07. 11. 2019 10:42

Re: Důkaz nerovností metodou sčítání AG nerovností

Zápatí