Matematické Fórum

Pozitron

Dobrý den,
ve studijním textu o nerovnostech je příklad k zamyšlení, ale je přenechán čtenáři a nedaří se mi ho vyřešit.

Rozmyslete si, že pokud dokazujeme nerovnost pro kladná x
$x^{2} + A(y, z)x + B(y, z) \ge 0$
v níž A(y, z) a B(y, z) jsou nějaké výrazy v proměnných y, z, výpočtem diskriminantu a zároveň
víme, že výraz A(y, z) nabývá pouze záporných hodnot, je náš postup bezztrátový.

celé zadání i kontext (pokud bude zapotřebí) se nachází na straně 20.
https://mks.mff.cuni.cz/common/show.php … chive/29/9

StagyOr · 13. 11. 2019 15:58

Dobrý den,

pokud by neplatila podmínka, že $A(y,z)$ nabývá (pro libovolná reálná y, z) záporných hodnot, může se stát, že nerovnost

$x^{2} + A(y, z)x + B(y, z) \ge 0, \ x\in \mathbf{R}^{+}$

není ekvivalentní nerovnosti

$A(y,z)^{2} - 4 B(y,z)^{2} \le 0$ (podmínka nekladného diskriminantu).

Za platnosti první nerovnosti tedy nemusí nutně platit druhá. Postup proto není bezztrátový. Pro pevná y, z může $f(x) = x^{2} + A(y, z)x + B(y, z)$ nabývat kladných hodnot pro všechna kladná x, ale diskriminant je kladný(viz obrázek).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-11/50547_par.png

Když ale platí podmínka $A(y,z) < 0$ , pak trojčlen $x^{2} + A(y, z)x + B(y, z)$ nabývá (pro libovolná daná y, z) svého minima pro kladná x:

Minima nabývá v bodě, ve kterém je derivace nulová.

$\frac{\partial (x^{2} + A(y, z)x + B(y, z))}{\partial x } = 2x +A(y,z) = 0$
$2x = -A(y,z)$

A protože $-A(y,z) >0$ , tak x, ve kterém trojčlen nabývá svého minima, musí být kladné. To znamená, že vrchol paraboly $f(x) = x^{2} + A(y, z)x + B(y, z)$ má nutně x-sovou souřadnici kladnou a případ uvedený na obrázku nemůže nastat, aniž by byla porušena daná nerovnost. $f(x) = x^{2} + A(y, z)x + B(y, z)$ musí celá ležet nad osou x (viz obrázek).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-11/56721_par2.png

Za platnosti výchozí nerovnosti

$x^{2} + A(y, z)x + B(y, z) \ge 0, \ x\in \mathbf{R}^{+}$

tedy zároveň platí i (při splnění podmínky $A(y,z) < 0$ )

$x^{2} + A(y, z)x + B(y, z) \ge 0, \ x\in \mathbf{R}$

Tato nerovnost je, jak je uvedeno ve studijním textu, ekvivalentní nerovnosti

$A(y,z)^{2} - 4 B(y,z)^{2} \le 0$ .

Proto je postup bezztrátový.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2019 22:22 — Editoval Pozitron (11. 11. 2019 22:22)

zamyšlení se nad vlastností kvadratické nerovnosti

#2 13. 11. 2019 15:58

Re: zamyšlení se nad vlastností kvadratické nerovnosti

Zápatí