Matematické Fórum

monak · 17. 11. 2019 21:06

Zdravím,

Chtěla bych poprosit o radu s úkolem na matematiku.

Mám určit souřadnice těřiště + statické momenty pro oblast vymezenou rovnicemi:
$x^2+z^2-az = 0$ a $\sqrt{x^2+z^2}-y=0$ pro $a > 0$ .

Jedná se o paraboloid a kuželovou plochu a měla by se provést transformace do cylindrických souřadnic, pokud se nemýlím. Ale bohužel si moc nevím rady s tím, jak určit meze pro $\varrho ,\varphi ,z$ .

Budu moc vděčná za jakoukoliv pomoc.

Ferdish

Súhlasím že $\sqrt{x^2+z^2}-y=0$ je kužeľová plocha, ale $x^2+z^2-az = 0$ nie je paraboloid.

Zakreslil som si to v GeoGebre a vyzerá to na valcovú plochu s osou rovnobežnou s osou y, ktorá je naviac súčasťou tejto plochy, viď obrázok (červená je os x, zelená os y, modrá os z, a=1):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ste si istá, že ste tie rovnice opísali zo zadania správne?

monak · 18. 11. 2019 10:04

Omlouvám se, máte pravdu, přepsala jsem se. Druhá rovnice je: $x^{2}+z^{2}-ay=0$

Jj · 18. 11. 2019 11:51 — Editoval Jj (18. 11. 2019 11:51)

↑ monak:

Hezký den.

A musí to být trojným integrálem? Řekl bych, že by měl stačit jednoduchý.

monak · 18. 11. 2019 12:40

↑ Jj:

Dobrý den,

ano, má se použít trojný integrál, je to přímo v zadání:

Pojmenujte plochy a každou načrtněte ve zvolené soustavě souřadnic. Zapište a nakreslete integrační oblast pro výpočet trojného integrálu, kterou určují (tj. průměty tělesa do souřadnicových rovin). Vypočítejte souřadnice těžiště a momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k souřadnicovým osám.

Jj · 18. 11. 2019 20:14

↑ monak:

Nj, v dotazu píšete o statických momentech, tady o momentech setrvačnosti.

Jj · 19. 11. 2019 07:36

↑ monak:

Řez zadaného rotačního tělesa v souřadnicových rovinách xy a zy viz obrázek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Z rovnic plyne výška tělesa = a, max. průměr = a. Modře - oblast integrace.

Řez kolmo na osu v bodě M(0 < y < a) je tvořen mezikružím s poloměry r1 = y a r2 = √(a*y). V rovině řezu lze užít polární souřadnice (r, φ), r1 <= r <= r2, 0 <= φ <= 2π.

Řekl bych, že za uvedeného (a podmínky užití trojného integrálu) bude

- element objemu tělesa $dV=r\,dr\,d\varphi\,dy$ ,
- jeho objem
$V=\int_0^a\int_0^{2\pi}\int_y^{\sqrt{ay}}r\,dr \,d\varphi\,dy=\cdots$
- statický moment k ose y
$S_y=\int_0^a\int_0^{2\pi}\int_y^{\sqrt{ay}}r \cdot y \,dr \,d\varphi\,dy = \cdots$
- Sx a Sz jsou vzhledem k symetrii tělesa = 0

monak · 19. 11. 2019 21:40

↑ Jj:

Moc děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2019 21:06

Trojný integrál - souřadnice těžiště

#2 17. 11. 2019 23:35 — Editoval Ferdish (18. 11. 2019 12:48)

Re: Trojný integrál - souřadnice těžiště

#3 18. 11. 2019 10:04

Re: Trojný integrál - souřadnice těžiště

#4 18. 11. 2019 11:51 — Editoval Jj (18. 11. 2019 11:51)

Re: Trojný integrál - souřadnice těžiště

#5 18. 11. 2019 12:40

Re: Trojný integrál - souřadnice těžiště

#6 18. 11. 2019 20:14

Re: Trojný integrál - souřadnice těžiště

#7 19. 11. 2019 07:36

Re: Trojný integrál - souřadnice těžiště

#8 19. 11. 2019 21:40

Re: Trojný integrál - souřadnice těžiště

Zápatí