Matematické Fórum

Ich · 16. 11. 2019 15:39

Potřebuji znát postup při úpravě rovnice z této
$Z_{L}=X_{C}$
do této podoby
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-11/14696_AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA.png
děkuji za váš čas.

Ich · 16. 11. 2019 17:16

↑ Ich:
Doká%u017Eu se dostat jenom sem

$\frac{1}{\omega ^{2}L^{2}C^{2}}-(\frac{R}{L})^{2}=\omega ^{2}$

laszky · 16. 11. 2019 17:36

↑ Ich:

Kdyz to reseni dosadis do te rovnice, zjistis, ze by melo platit $R^2C^2=0$ .
Protoze se jedna o fyziku, zrejme clen $R^2C^2$ povazovali za maly a zanedbali ho.

Ich · 16. 11. 2019 20:41

↑ laszky:
Ano hodnota C bývá kolem $10^{-9}$ Faradů,
v ideálním případě je $\omega =\frac{1}{(LC)^{\frac{1}{2}}}$ ,
když to dosadím za úhlovou rychlost vlevo, mám $\frac{LC}{L^{2}C^{2}}-\frac{R^{2}}{L^{2}}=\omega ^{2}$
což je výsledná rovnice.
Děkuji :) :lol: :D

MichalAld

Je to trochu složitější než to vypadá. Základní chyba je, že se to snažíš odvodit ze vztahu $Z_{L}=X_{C}$ . Je celkem na první pohled (nebo na ten druhý) zřejmé, že žádnou volbou kmitočtu není možné tuhle rovnici splnit. Na levé straně máme reálnou + imaginární složku, na pravé jen imaginární. To se nikdy rovnat nebude.

Rezonanci musíme brát jako stav, kdy má obvod čistě reálnou (odporovou) impedanci - pak se k tomu dostaneme. Dále - ono je taky trochu problém, co vlastně myslíme tím rezonančním kmitočtem - když je to kombinace cívky odporu a kondenzátoru. Vztah, který chceš najít odpovídá tomu, že cívka s odporem je v sérii, a k tomu paralelně zapojený kondenzátor. A impedanci tohoto obvodu hledáme. Jen takto vyjde co potřebuješ. Když dáme všechny tři prvky do série, dostaneš stejný vzorec, jako by tam ten odpor nebyl.

Takže - máme odpor s cívkou v jedné větvi a kondenzátor ve druhé. Když jde o takovéto paralelní spojení, musíme sčítat admitance. Tedy

$Y = Y_{RL} + Y_C = \frac{1}{R + j \omega L} + j \omega C =$

$= \frac{R - j \omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \omega C = \frac{R}{R^2 + \omega^2 L^2} +j( \frac{ - \omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} + \omega C)$

A teď potřebujeme, aby admitance Y byla čistě reálná, tedy aby člen obsahující to "j" byl nulový. Takže

$\frac{ - \omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} + \omega C = 0$

$\frac{ \omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} = \omega C$

$\frac{ \omega L}{\omega C} = R^2 + \omega^2 L^2$

$\frac{L}{C} - R^2 = \omega^2 L^2$

$\frac{1}{LC} -\frac{ R^2}{L^2} = \omega^2$

A je to...