Matematické Fórum

weissgrlu · 21. 11. 2019 08:25

Hezký den,
potřebuji dokázat toto tvrzení $2^{4n+1}-2^{2n}-1$ ,kde $n\in \mathbb{N}$ je dělitelný devíti. Důkaz matematickou indukcí mám hotový, případně přiložím pro porovnání. Problém je ale v tom, že bych potřeboval přijít i na jiný důkaz, třeba přímý nebo sporem. Ptám se tedy, jestli někdo nemá nějaký nápad jak toto tvrzení dokázat i jinak než matematickou indukcí.

Díky za váš čas.

misaH · 21. 11. 2019 08:45

↑ weissgrlu:

Napadlo mi:

$2x^2-x-1=9a$ , a nezáporné

má riešenie pre všetky nezáporné a

$x=2^n$

Ale možno zle uvažujem, alebo je tam iná chyba...

vanok · 21. 11. 2019 09:22

↑ weissgrlu:
Pozdravujem,
Tu mas jeden mozny dokaz ( na dokoncenie).
Staci konstatovat, ze $2^{4n+1}-2^{2n}-1=(2^n-1)(2^n+1)(2^{2n+1}+1)$ a ze jedno z neparnych prirodzenych $2^n-1, 2^n+1$ je delitelne tromi , (lebo
$2^n-1, 2^n,2^n+1$ su tri po sebe iduce prirodzene cisla) a $2^{2n+1}+1=-1+1=0 , \mod 3$ .
A zvysok necham dokoncit

weissgrlu · 21. 11. 2019 13:10

↑ vanok: Super, první část bez výhrady chápu jen mi není úplně explicitně jasné, proč $2^{2n+1}$ , je v mod 3 vždycky -1. Tady bych potřeboval asi ještě trochu navést.

vlado_bb · 21. 11. 2019 13:26

↑ weissgrlu: Treba si uvedomit, ze $2=3-1$ . Zvysok je uz iba binomicka veta.

weissgrlu · 21. 11. 2019 13:33

↑ vlado_bb: ↑ vanok: Díky pánové, moc jste mi pomohli!

krakonoš · 21. 11. 2019 18:24

↑ vlado_bb:↑ weissgrlu:↑ vanok:
Ahoj
Ještě k té poslední otázce, proč je zbytek při dělení vždy -1.
Zde jsou součiny lichého počtu dvojek.
Vyplývá to už ze samotného principu dělení.
Vezmu-li nejprve číslo dvě a vydělím ho třemi, zbydou dvě.To udělám dvakrát, pak zbyde jedna, takto budu pokračovat dál.Budou se střídat zbytky jedna a dvě, podle toho., zda je vynásoben lichý nebo sudý počet činitelů.
Nula zbytek nikdy nebude, vyplývá to z rozkladu na prvočísla.Dvě na ntou už je rozloženo na součin prvočísel 2.Tři se zde nikde nevyskytuje.

vanok · 21. 11. 2019 18:42 — Editoval vanok (22. 11. 2019 06:27)

Ahoj ↑ krakonoš:,
Pozor, to je treba vzdy mat na vedomi, ci pracujes modulo 3 alebo priamo v $\Bbb N$ .

Tu pracu modulo 3, mozes interpretovat ako pracu v telese $\Bbb Z_3$ .
Inac mas pravdu ze 2 modulo 3 je -1 (alebo co je ekvivalentne mod 3 ; 2), akoze exposant tej 2 je neparne cislo, tak to da vzdy -1...( mod 3).

Hejny · 10. 01. 2020 20:49

↑ vanok: Ahoj, jak si přišel na to, že se daný výraz dá takto rozložit? Předem děkuji za odpověď.

zdenek1 · 10. 01. 2020 21:17

↑ Hejny:
Pro začátek zkus substituci $2^{2n}=x$ a zkus rozložit vzniklý kvadratický trojčlen

vanok · 11. 01. 2020 06:38 — Editoval vanok (11. 01. 2020 06:39)

Ahoj ↑ Hejny:,
Alebo este, lahko konstatujes, ze
$2^{4n+1}-2^{2n}-1= ( 2^{2n}-1)(2^{2n+1}+1)$ ( vsak vidis, ze $2^{2n+1} =2.2^{2n}$ ) a potom ukonci vdaka $2^{2n}-1=(2^n-1)(2^n+1)$ .
Ak nevidis okamzite tu prvu faktorizaciu, tak najprv pouzi to co pise kolega ↑ zdenek1: ( pozdravujem ).

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2019 08:25

Dělitelnost devíti - důkaz

#2 21. 11. 2019 08:45

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#3 21. 11. 2019 09:22

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#4 21. 11. 2019 13:10

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#5 21. 11. 2019 13:26

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#6 21. 11. 2019 13:33

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#7 21. 11. 2019 18:24

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#8 21. 11. 2019 18:42 — Editoval vanok (22. 11. 2019 06:27)

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#9 10. 01. 2020 20:49

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#10 10. 01. 2020 21:17

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

#11 11. 01. 2020 06:38 — Editoval vanok (11. 01. 2020 06:39)

Re: Dělitelnost devíti - důkaz

Zápatí