Matematické Fórum

PlusPlusPlus

Ahoj,
konečně se zase po půl roce vrhám na matematiku. Potřeboval bych pomoci s následujícím příkladem, sumace posloupnosti s absolutní hodnotou, tedy : $\sum |an+b|$ , kde $a \neq 0$ ; $n$ je proměnná

Nějak pocitově jsem dospěl k závěru, že by sumace posloupnosti $b_n= |an+b|$ měla být:

$\sum |an+b| =|sgn(an+b)|\{\frac{sgn(an+b)+1}{2}A_n-\frac{sgn(an+b)-1}{2}(2*y_0+k-A_n)\}+$
$+(1-|sgn(an+b)|)*A_n+C=B_n+C$
Hranice sumy nejsou, potřebuji dokázat diferenci: $\Delta B_n=b_n$

kde:
$y_0=\frac{ab-b^2-\frac{a^2}{4}}{2a}$
$A_n=\sum (an+b) = \frac{1}{2}an^2+(b-\frac{1}{2}a)n$
$k=\frac{sgn(a)+1}{2}*\{a_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil - 1} +B_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}-B_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1}\} -\frac{sgn(a)-1}{2}*\{a_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor} -B_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1}+B_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}\}$
kde:
$a_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil - 1}= a*(\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil - 1)+b$
$B_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}= |sgn(a{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}+b)|\{\frac{sgn(a{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}+b)+1}{2}A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}-\frac{sgn(a({\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil})+b)-1}{2}(2*y_0+A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil})\}+$
$+(1-|sgn(a{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}+b)|)*A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}$
$B_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1}= |sgn[a({\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}-1)+b]|\{\frac{sgn[a({\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}-1)+b]+1}{2}A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1}-\frac{sgn[a({\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}-1)+b]-1}{2}(2*y_0+A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1})\}+$
$+(1-|sgn[a({\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}-1)+b]|)*A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1}$
$A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1}= \frac{1}{2}a(\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1)^2+(b-\frac{1}{2}a)(\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil-1)$
$A_{\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil}= \frac{1}{2}a(\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil)^2+(b-\frac{1}{2}a)(\left\lceil-\frac{b}{a} \right\rceil)$
$a_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}= a*\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor +b$
$B_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1}= |sgn[a({\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+1)+b]|\{\frac{sgn[a({\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+1)+b]+1}{2}A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1}-\frac{sgn[a({\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+1)+b]-1}{2}(2*y_0+A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1})\}+$
$+(1-|sgn[a({\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+1)+b]|)*A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1}$
$B_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}= |sgn(a{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+b)|\{\frac{sgn(a{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+b)+1}{2}A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}-\frac{sgn(a{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+b)-1}{2}(2*y_0+A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor})\}+$
$+(1-|sgn(a{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}+b)|)*A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}$
$A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1}= \frac{1}{2}a(\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1)^2+(b-\frac{1}{2}a)(\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor+1)$
$A_{\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor}= \frac{1}{2}a(\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor)^2+(b-\frac{1}{2}a)(\left\lfloor-\frac{b}{a} \right\rfloor)$
Může to být takto správně? Nevím jak dokázat.
Děkuji

vlado_bb · 17. 11. 2019 18:08

↑ PlusPlusPlus:Ake su hranice sumy?

PlusPlusPlus

Ahoj,

Zjistil jsem, že to neumím ani přepsat. Opravil jsem tedy zápis (snad jsem už chybu neudělal). Hranice sumy nejsou žádné, potřebuji dokázat diferenci: $\Delta B_n=b_n$
kde
$B_n= |sgn(an+b)|\{\frac{sgn(an+b)+1}{2}A_n-\frac{sgn(an+b)-1}{2}(2*y_0+k-A_n)\}+$
$+(1-|sgn(an+b)|)*A_n+C$
$b_n= |an+b|$

Možná to mám zbytečně moc složitě zapsané,nic jednoduššího mě nenapadlo. Složité to dělají ty dva členy u vrcholu paraboly (někdy vrcholem prochází)

PlusPlusPlus

↑ vlado_bb:
Ahoj,
mžná by mi pomohl i partikulární důkaz , ne to všeobecnění. Hele, zvolím $a= \frac{1}{3} ; b=-15$ což implikuje:
$\sum |\frac{1}{3}n-15| =|sgn(\frac{1}{3}n-15)|\{\frac{sgn(\frac{1}{3}n-15)+1}{2}[\frac{1}{6}n^2-\frac{91}{6}n]-\frac{sgn(\frac{1}{3}n-15)-1}{2}(-690-\frac{1}{6}n^2+\frac{91}{6}n)\}+$
$+(1-|sgn(\frac{1}{3}n-15)|)*[\frac{1}{6}n^2-\frac{91}{6}n]+C$
Sumaci můžu využít pro součet prvních k- členů, ten je platný
$\sum_{n=1}^k |\frac{1}{3}n-15| =|sgn(\frac{1}{3}k-\frac{44}{3})|\{\frac{sgn(\frac{1}{3}k-\frac{44}{3})+1}{2}[\frac{1}{6}k^2-\frac{89}{6}k-15]-\frac{sgn(\frac{1}{3}k-\frac{44}{3})-1}{2}(-690-\frac{1}{6}k^2+\frac{89}{6}k+15)\}+$
$+(1-|sgn(\frac{1}{3}k-\frac{44}{3})|)*[\frac{1}{6}k^2-\frac{89}{6}k-15]+675$

Nevím, zabývá se tu někdo sumací, diferencí a dokázal by mě poradit? Snad se někdo najde, děkuji.

vlado_bb

↑ PlusPlusPlus:Ide teda o rozdiel dvoch po sebe iducich clenov radu $\sum |an+b|$ ? Ak nie je problem jasne formulovany, neda sa ocakavat, ze sa nim bude niekto zaoberat.

PlusPlusPlus

↑ vlado_bb:

Ano, diference je definovaná jako rozdíl dvou po sobě jdoucích členů posloupnosti, v mém konkrétním příkladě $\Delta B_{n}=B_{n+1}-B_{n}$ . Četl jsem si to teď ještě po sobě a myslím si, že jsem se srozumitelně vyjádřil v prvním opraveném příspěvku, cituji: " Hranice sumy nejsou, potřebuji dokázat diferenci: $\Delta B_n=b_n$ "
Velkým písmenem $(B_{n})$ jsem napsal předpis posloupnosti:
$B_{n} =|sgn(an+b)|\{\frac{sgn(an+b)+1}{2}A_n-\frac{sgn(an+b)-1}{2}(2*y_0+k-A_n)\}+$
$+(1-|sgn(an+b)|)*A_n+C=B_n+C$
No a rozdílem dvou po sobě jdoucích členů potřebuji dokázat $B_{n+1}-B_{n} = |an+b|$

Je to takto již srozumitelné?

vlado_bb · 24. 11. 2019 11:47

↑ PlusPlusPlus: Preco je to dolezite vediet? S cim ta uloha suvisi? Nakolko pri nekonecnych radoch vacsinou na prvych $k$ clenoch nezalezi (teda ak ide o konvergenciu), nebolo by jednoduchsie zaoberat sa osobitne pripadmi $an+b>0$ a $an+b<0$ ?

PlusPlusPlus · 24. 11. 2019 15:09

↑ vlado_bb:
Jasně, rozumím tvému popisu. Rozdělit členy do dvou intervalů a zybývat se každým intervalem samostatně. Neřeším konvergenci řady, ani nekonečné řady.
Řeším a dokazuji sumaci posloupnosti.
Definice: Říkáme že posloupnost $(B_{n})$ je sumací posloupnosti $(b_{n})$ , platí-li $\Delta B_{n}=b_{n}$ , pro všechna $n=1,2,3...$ Sumaci značíme $\sum (b_{n})$ , nebo $\sum b_{n}$