Matematické Fórum

Pozitron · 26. 11. 2019 05:03

Dobrý den,
na internetu jsem našel nerovnost a nevím si s ni rady:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-11/41017_74460671_2406092789639560_6330780772101783552_n.jpg

laszky · 26. 11. 2019 13:02 — Editoval laszky (26. 11. 2019 19:06)

↑ Pozitron:

Ahoj. Uvazuj polynom

$p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$

Ukaz, ze tvoje nerovnost je ekvivalentni s nerovnosti

$p(1)\geq0$

Pokud vsechny koreny kubickeho polynomu p (s kladnym koeficientem u nejvyssi mocniy) lezi v intervalu (0,1), jaka musi byt hodnota p(1)?

EDIT: Nebo jinak. Uvedena nerovnost lze zapsat jako $(1-a)(1-b)(1-c)\geq0$ . A vzhledem k tomu, ze $a,b,c\in(0,1)$ ,...

Pozitron

↑ laszky:
Pokud najdeme ten polynom, tak je řešení jasné, ale chtěl bych vědět jak dojít k tomu polynomu.(pokud to lze)
Nebo nějaké jiné přímočarejší řešení.
Děkuji.

Pozitron · 27. 11. 2019 08:01

↑ krakonoš:
To můžeme jen ze symetrie nerovnosti usoudit že a=b?
Př. Víme ab+b^2 = 5
$a^{3}+b^{3}+16a+16b \ge 5$
Řekněme že a=b,
Dopočteme že b^2=2 Takže a=b=2^1/2.
Teď jen dosadíme do $a^{3}+b^{3}+16a+16b \ge 5$
A vyjde $\sqrt{2}^{3}+\sqrt{2}^{3}+16\sqrt{2}+16\sqrt{2} \ge 5$
a to platí, takže nerovnost platí.
Je můj postup správný?

krakonoš

↑ Pozitron:
Ale když jsem se nyní nad tím podrobněji zamyslela , tak i zde nastává více možností,kdyab+bc+ac=1, např a=9/10;b=9/10;c=19/180.
Takže se omlouvám, ta úvaha neplatí, měla jsem si to pořdně spočítat.

krakonoš

↑ Pozitron:
Tady bude asi dobré brát a,c in (0;1)
Z toho pak dopočítat $b=\frac{1-ac}{a+c}$
Dostaneme tak, abychom dokázali, že
$a+\frac{1-ac}{a+c}+c+a\cdot \frac{1-ac}{a+c}\cdot c<=2$

Pozitron · 27. 11. 2019 13:01

↑ krakonoš:
Toto mě také napadlo, a došel jsem nerovnosti:
$a^{2}+2ac+1+c^{2}-(ac)^{2 }\le 2a+2c$
Tu se mi ale nepodařilo dokázat.

krakonoš

↑ Pozitron:
To lze přepsat jako
$(a-1)^{2}+(c-1)^{2}<=(ac-1)^{2}$ .(*)
Toto bychom měli dokázat. Mně ale příjde, že to vůbec neplatí, jestli jsem se někde nespletla.
Kdyby a=c a zároveň $a$ bylo to blízké nule,budou vlastně a, c blízké nule , zatímco b bude dopočteno tak, aby součet byl roven jedné.
muselo by být
$2(a-1)^{2}<=(a^{2}-1)^{2}$
Pro a =0,000001
bude levá strana 1,99999 zatímco pravá 0,9999
Zřejmě nerovnice (*) nebude vyhovovat, pokud by při volbě a, c malé bylo už b mimo nulajedničkový interval, protože jinak by tento postup měl být ekvivalentní s tím předchozím uvedeným.,takže bys musel ještě zapojit tu podmínku $1-ac<a+c$ ,to by už mělo vést k cíli.

Honzc · 27. 11. 2019 19:01

↑ Pozitron:
Co tady řešíte?
Použijte co napsal laszky:
$(1-a)(1-b)(1-c)>0$ $\text{pro}$ $a,b,c\in (0,1)$ je to zřejmé
Levou stranu roznásobit a po využítí toho, že $ab+bc+ac=1$
dostaneme $2>a+b+c+abc$