Matematické Fórum

Matezu · 26. 11. 2019 10:40 — Editoval jelena (26. 11. 2019 18:47)

Jelena: edit: Projekt DIM 10 - 2019/2020, viz pravidla sekce

Zdravím,
dostal jsem se k příkladu:

"Strýček Skrblík ve svém sejfu lopatou přehazuje mince. V sejfu je pět miliónů dvoukorunových mincí a tři miliony desetikorunových mincí. Všiml si, že na lopatě má 100 mincí. Jaká je střední hodnota mincí na lopatě, jestliže každá mince má stejnou šanci být na lopatu nabrána? Podaří se vám střední hodnotu vyčíslit přesně? Pečlivě zdůvodněte korektnost řešení."

Dlouho jsem přemýšlel, jak najít cestu k elegantnímu řešení tohoto příkladu. Vím, že bych dokázal příklad otrocky vyřešit sčítáním 100 různých hodnot mincí na lopatě. Postupoval bych takhle: Pravděpodobnost toho, že na lopatě bude pouze 100 dvoukorunových mincí je
$C(5\cdot 10^6,100)/C(8\cdot 10^6,100)$
a hodnota sta dvoukorunových mincí je 200, takže první člen střední hodnoty by byl
$200\cdot (C(5\cdot 10^6,100)/C(8\cdot 10^6,100))$
Dalším členem by byla lopata o 99 dvoukorunových mincí a 1 desetikorunové, součet hodnot je 208...
$208\cdot ((C(5\cdot 10^6,99)\cdot C(3\cdot 10^6,1 ))/C(8\cdot 10^6,100))$
A takhle bych postupoval dále

Přičemž je jasné, že součet všech pravděpodobností by dával 1. Jenže počítat tuto úlohu takovým způsobem a pak ještě vyčíslovat kombinační čísla v řádech milionů je nesmysl. Musí tam být nějaká cesta, které jsem si nevšiml a která by tento příklad značně zjednodušila.

Nemůžete mě, prosím, alespoň naťuknout správným směrem?
Děkuji

check_drummer · 26. 11. 2019 16:57

Matezu napsal(a):
Všiml si, že na lopatě má 100 mincí. Jaká je střední hodnota mincí na lopatě

Ahoj, já bych řekl, že 100. :-)

Matezu · 26. 11. 2019 17:58 — Editoval Matezu (26. 11. 2019 18:00)

↑ check_drummer: Nějak nerozumím, narážíš na to, že je věta špatně formulovaná? Pokud ne, tak Ti nerozumím a pokud ano, tak to má náš garant špatně napsaná zadání projektu. Citovaná věta by podle mě dávala větší smysl jako: "... střední hodnota součtu hodnot mincí na lopatě ..."

MichalAld

Podle mě nelze spočítat nic lepšího, než vzít střední hodnotu hodnoty mincí v celém trezoru - a předpokládat, že na lopatě je vhodný vzorek.

Problém ale je, že v trezoru jsou mince zastoupeny v poměru 5:3, a to se nám u stovky mincí na lopatě nepodaří...a chtělo by to nějak zohlednit.

Navíc bych řekl, že ptát se přímo na střední hodnotu mincí na lopatě je chybné, tu prostě nemůžeme určit. Můžeme určit jen v nějakém smyslu nejlepší odhad, nejpravděpodobnější hodnotu střední hodnoty.

My nevíme, jaké mince na lopatě jsou...

Matezu · 26. 11. 2019 18:37

↑ MichalAld:
Takže celý problém je položen chybně?

Já mám za to, že je to myšleno tak, že prostě hrábnu lopatou, na kterou se vleze přesně 100 mincí do 8 milionů mincí, kde z nich je 5 milionů dvoukorunových a 3 miliony desetikorunových. A že po mně chce pomocí věty o střední hodnotě náhodné veličiny zjistit průměrný (pravděpodobnou) součet hodnot všech mincí... Kdybychom tam lopatou hrábli strašně ale strašně moc krát a ty hodnoty zprůměrovali, mělo by se to našemu výpočtu blížit.

Nějak nevím, jak tedy postupovat. Možná bych to měl konzultovat s vyučujícím, je to ovšem speciální projekt "Pro ty, co se chtějí něco naučit", který má dokázat naši matematickou zdatnost a má být psán formou vědeckého článku.

Jj · 26. 11. 2019 19:53 — Editoval Jj (26. 11. 2019 23:42)

↑ Matezu:

Zdravím.

Taky to tak chápu.

Nabírá se z obrovského, ale konečného počtu mincí s přesně daným výchozím poměrem dvou typů mincí, a to vždy právě 100 mincí. Háček může být v tom, že se nabírá lopatou.

Lze "hrábnutí" lopatou považovat třeba za

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Skryto - zřejmě nedomyšleno.

check_drummer

Matezu napsal(a):
↑ check_drummer:Citovaná věta by podle mě dávala větší smysl jako: "... střední hodnota součtu hodnot mincí na lopatě ..."

Je tam uvedeno střední hodnota mincí, ale mince není žádné číselné vyjádření, takže spíš by tam mělo být poněkud kostrbaté střední hodnota hodnoty mincí - a nebo jak píšeš ty střední hodnota součtu, ale to už asi není podstatné, jestli zkoumáme střední hodnotu součtu nebo hodnoty jedné mince.

Matezu · 26. 11. 2019 22:03

↑ Jj:Já si myslím, že je tam ten výraz "nabrání na lopatu" z čistě estetického hlediska, aby to dobře zapadlo do konceptu příkladu, ještě k tomu jsme dva tebou uvedené typy střední hodnoty nikdy nebrali. Ovšem pokud bych ten příklad vypracoval ze všech nabízených hledisek, určitě by to zvýšilo hodnotu práce.

Pokud by to ale však bylo špatně vyjádřené a bylo by to ono nabírání mince po minci, tedy vybírá se n dvoukorunových mincí z 5 milionů a 100-n desetikorunových mincí ze 3 milionů, kde n náleží celým číslům od 0 do 100, jak to podle mě pan garant zamýšlel, pořád mi připadá nesmyslně otrocké to takhle počítat.

edison · 26. 11. 2019 22:17

Obecně by se asi mohlo vyjít z toho, že tou lopatou by mělo jít celý obsah sejfu přesunout do druhého, tak že nic nezbyde.

Jj · 26. 11. 2019 22:26

↑ Matezu:

No, brali - nebrali. A není důvod pro otrocký výpočet - obecně to vyřešeno je, vztah pro střední hodnotu je vcelku triviální: Odkaz stačí dosadit konkrétní čísla.

Jj · 26. 11. 2019 22:48

↑ edison:

Jj, ty moje úvahy byly stejně mimo, jestliže každá mince má stejnou šanci být na lopatu nabrána. V podstatě náhodný výběr bez vracení.

Honzc · 27. 11. 2019 11:27

↑ Matezu:
Ke stejnému výsledku lze ovšem dospět i použitím váženého aritmetického průměru. Tedy

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jj · 27. 11. 2019 11:40

↑ Matezu:

Předpokládám, že jste zaregistroval upozornění kolegyně Jelena
(tady ↑ Matezu:) v souvislosti s charakterem úlohy. Ať není zbytečný problém.

Matezu · 27. 11. 2019 11:44

↑ Jj:Rozumím, ale v podstatě jsem jediný, kdo projekt vypracovává, tak v tom by neměl být problém. Ale radši to skryju.
Děkuji

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2019 10:40 — Editoval jelena (26. 11. 2019 18:47)

Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#2 26. 11. 2019 16:57

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

Matezu napsal(a):

#3 26. 11. 2019 17:58 — Editoval Matezu (26. 11. 2019 18:00)

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#4 26. 11. 2019 18:21 — Editoval MichalAld (26. 11. 2019 18:23)

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#5 26. 11. 2019 18:37

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#6 26. 11. 2019 19:53 — Editoval Jj (26. 11. 2019 23:42)

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#7 26. 11. 2019 20:51 — Editoval check_drummer (26. 11. 2019 20:51)

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

Matezu napsal(a):

#8 26. 11. 2019 22:03

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#9 26. 11. 2019 22:17

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#10 26. 11. 2019 22:26

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#11 26. 11. 2019 22:48

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#12 27. 11. 2019 11:09 Příspěvek uživatele Matezu byl skryt uživatelem Matezu. Důvod: Obsahuje řešení

#13 27. 11. 2019 11:27

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#14 27. 11. 2019 11:40

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

#15 27. 11. 2019 11:44

Re: Střední hodnota mincí nabraných na lopatě

Zápatí