Matematické Fórum

Andrew123 · 02. 12. 2019 18:28

Ahoj,
mel bych dotaz ze zakladu linearni algebry. Ve skriptech "Uvod do algebry, zejmena linearni" - Petr Olsak (http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf) jsou na str. 26 uvedeny "Základní vlastnosti lineární (ne)závislosti" (Věta 2.17). Chtel bych se zeptat na vlastnost cislo 6, ktera zni:

Samotný vektor $x_1$ (chápaný ovšem jako skupina vektorů o jednom prvku) je lineárně nezávislý právě tehdy, když je nenulový.

Muj dotaz:
Jak muze byt samotny vektor nezavisly? O nekolik stranek drive se pise, ze ma smysl se bavit pouze o skupine vektoru, pokud se bavime o linearni (ne)zavislosti vektorů (viz. Poznamka 2.11 na str. 19). Jestli tomu rozumim dobre, tak to znamena, ze ma smysl se bavit o linearni (ne)zavislosti pouze tehdy, mame-li k dispozici minimalne 2 vektory. Nerozumim textu v zavorce u Vety 2.17, ze vektor je chapany jako skupina vektoru o jednom prvku. Tomu teda vubec nerozumim.

Pomuze mi to nekdo prosim vysvetlit?

A.

laszky · 02. 12. 2019 18:43

↑ Andrew123:

Ahoj, to plyne z defineice linearni nezavislosti:

Skupina vektoru $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n$ je linearne nezavisla prave tehdy, kdyz plati implikace

$\sum_{i=1}^n\alpha_i \vec{u}_i = \vec{o} \quad \Rightarrow \quad \alpha_i=0\; \forall i=1,2,\dots,n$

No a pro libovolny nenulovy vektor $\vec{u}$ plati:

$\alpha \vec{u} = \vec{o} \quad \Rightarrow \quad \alpha=0$ ,

takze $\vec{u}$ je linearne nezavisly.

misaH · 02. 12. 2019 18:47 — Editoval misaH (02. 12. 2019 18:48)

↑ laszky:

Ahoj.

Vidí sa mi ale, že zadávateľ nerozumie, že aj jeden vektor môže tvoriť skupinu (jednoprvkovú)...

Andrew123 · 02. 12. 2019 19:14

↑ misaH:

Ahoj,
ze 1 vektor tvori jednoprvkovou skupinu, tak tomu samozrejme rozumim.. Linearni (ne)zavislost jsem ale chapal, ze je to vlastnost mezi vektory (viz ta poznamka 2.11), Predstavoval jsem si to analogicky k necemu jako je napr. usporadani prirozenych cisel. Tj. pokud mam jedno cislo, tak nemuzu rici, ze je jedno vetsi/mensi, kdyz nemam k dispozici druhe cislo.., protoze k porovnani cisel je potreba mit minimalne 2 cisla, jedno cislo nestaci a je to malo. Takhle jsem uvazoval a nerikam, ze jsem uvazoval dobre..:-)

Andrew123 · 02. 12. 2019 19:19

↑ laszky:

Super, dik za vysvetleni.

Mozna jeste doplnujici otazka..
Muze byt samotny vektor take zavisly? Predpokladam, ze ano a to tehdy, kdyz je nulovy, protoze existuje netrivilani linearni kombinace, ktera je rovna nulovemu vektoru. Je to tak?

Stýv · 02. 12. 2019 21:23

↑ Andrew123: Nezávislost jednoho vektoru asi nemá žádnou rozumnou interpretaci, podobně jako třeba součet 0 čísel. Někdy je ale dobré mít tyhle speciální případy rozumně definované, aby je člověk nemusel stále nějak speciálně ošetřovat. Abys mohl např. říkat "nechť A je množina nezávislých vektorů" místo "nechť A je množina nezávislých vektorů nebo obsahuje právě jeden vektor a ten není nulový".

MichalAld · 03. 12. 2019 00:10

↑ Stýv:
Jo jo, asi jako když máme hrst věcí, které jsou stejné - a chceme to rozšířit i na případ, kdy máme jen jednu (stejnou) věc...

(jen jdu kolem a nějak mě to napadlo....)

vanok · 03. 12. 2019 09:29

Ahoj ↑ MichalAld:,
Akoze nejaky vyrok, alebo jeho kontrapozovany vyrok su ekvivalentne, tak pouzit jeden alebo druhy je bezne.
A v tomto cviceni, niekomu sa ten kontrapozovany vyrok moze zdat viac intuitivny.

Rumburak

↑ Andrew123:

Ahoj. Uvedu jiště jiný pohled na zmíněnou problematiku:

Základním pojmem je zde seznam prvků (v našem případě vektorů), tedy jakási konečná či
nekonečná posloupnost. Seznam může být jednoprvkový i prázdný, konkretní prvek se v něm
může vyskytovat i vícekrát (tj. na různých posicích). Jdeme-li na pojem lineární závislosti vektorů
přes jejich seznamy (snad je zřejmé jak), potom nejasnosti, o kterých píšeš, nevzniknou.

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2019 18:28

Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#2 02. 12. 2019 18:43

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#3 02. 12. 2019 18:47 — Editoval misaH (02. 12. 2019 18:48)

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#4 02. 12. 2019 19:14

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#5 02. 12. 2019 19:19

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#6 02. 12. 2019 21:23

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#7 03. 12. 2019 00:10

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#8 03. 12. 2019 09:29

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

#9 03. 12. 2019 11:32 — Editoval Rumburak (03. 12. 2019 13:15)

Re: Vlastnosti lineární (ne)závislosti - (ne)závislost samotného vektoru

Zápatí