Matematické Fórum

mikraa · 07. 12. 2019 15:29 — Editoval mikraa (07. 12. 2019 15:38)

Ahoj všem,

můžete mi, prosím, poradit jak na n-tou derivaci?
Konkrétně:
$y^{20} pro y=(x^{2}+1)sinx$

Našla jsem vzorec, který ale asi neumím použít:-(

Děkuji

vlado_bb · 07. 12. 2019 15:32

↑ mikraa:Ide teda o $n$ -tu derivaciu funkcie $y=((x^{2}+1)sinx)^{\frac 1{20}}$ ?

mikraa · 07. 12. 2019 15:35

↑ vlado_bb:
Ahoj:-),
ne, jde o 20tou derivaci
$(x^{2}+1)sinx$

děkuji.

vlado_bb · 07. 12. 2019 16:17

↑ mikraa:Aby si si zjednodusila zapisy, skus to takto: ide o funkciu typu $P(x) \sin x$ , kde $P$ je polynomicka funkcia. Skus postupne hladat jej derivacie a mozno sa ukaze, ze isty vzor sa opakuje, no a z neho budes vediet vseobecne zapisat $n$ -tu derivaciu. Neviem totiz, ci sa od vas chce iba dvadsiata, alebo lubovolna derivacia. Tak napriklad

$y'=P'(x) \sin x + P(x) \cos x$

Sucasne si uvedom, ze v nasom pripade $P'''(x)=0$ .

Ina moznost by bola tento postup aplikovat na sucet $x^2 \sin x + \sin x$ .

mikraa · 07. 12. 2019 16:26

↑ vlado_bb:
Děkuji, ale právě, že zatím jsem dělala ty derivace postupně a vždy jsem se dobrala správného výsledku. A vím, že je na to vzorec Leibnizův pro n-tou derivaci součinu a to právě neumím a pro sin x a cox x je také vzorec. Tak jsem chtěla poradit jak na to se vzorci:-)

mikraa · 07. 12. 2019 17:11

↑ vlado_bb:

Mám tyto vzorce a nemumím je aplikovat na ty příklady.
Mohl bys mi poradit, jak na to?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-12/35059_IMG_8115.jpg

Děkuji.

mikraa · 08. 12. 2019 20:04

Ahoj ↑ vlado_bb:,

nezlob se, ale stejně nevím, jak na to. Udělala jsem to do čtvrté derivace, nevidím, že by se nějaký vzor opakoval. Věděl bys prosím, jak určit tu derivaci jakýmkoliv způsobem, kromě toho, že bych opravdu postupně derivovala 20x?
Děkuji.

vlado_bb

↑ mikraa: Ak tam ani po stvrtej derivacii nic rozumne nevychadza, tak uz asi naozaj iba pouzit ten vztah co mas v zltom ramceku. Aj ten sa ale vyrazne zjednodusi vdaka tomu, ze jedna z funkcii je polynomicka.

mikraa · 08. 12. 2019 20:39

↑ vlado_bb:
moc díky, ale já ten vzorec právě neumím použít. Za u dosadím $((x^{2}+1))^{20}$ ? To mi vyjde něco naprosto šíleného. Můžeš mi, prosím, poradit, ajk na to, tedy? Děkuji

vlado_bb

↑ mikraa: Tak teraz nerozumiem. Nepisala si povodne, ze chces derivovat funkciu $(x^{2}+1) \sin x$ ? Kde tam vidis $(x^{2}+1)^{20}$ ?

mikraa · 08. 12. 2019 21:24

↑ vlado_bb:¨ano chci derivovat, jak píšeš, ale psal's, že mám použít ten vzorec žlutě orámovaný. No a tam je $(uv)^{n}=u^{n}\cdot v+...$ , tak jsem dosadila za to $(u)^{n}$ ??? No a právě pořád píšu, že ten vzorec neumím použít...
Prostě vůbec nevím, jak to derivovat, když nechci 20x. Děkuju.

vlado_bb · 08. 12. 2019 21:25

↑ mikraa: Vo vztahu v zltom ramceku nie je $u^n$ (mocnina), ale $u^{(n)}$ (derivacia).

mikraa · 08. 12. 2019 21:32

↑ vlado_bb:,
No jo... ale pak mám každý výraz derivovat zvlášť podle toho vzorce? Vždyť pak ten vzorec postrádá logiku, když budu muset postupně derivovat (u) 20.derivace, pak zase (u) 19. derivace... A to je ono, že to prostě nechápu... Jak do toho vzorce dosadit? Děkuji moc.

vlado_bb

↑ mikraa: Nasa funkcia ma ale nenulove iba prve dve derivacie, uz treti raz to zdoraznujem. Tym sa cely vyraz na pravej strane redukuje na tri cleny.

mikraa · 08. 12. 2019 22:01

↑ vlado_bb:
Ahaa, promiň, už se bojím zeptat, takže derivuju ten polynom, kde mi při třetí derivaci vyjde 0, to chápu. A pak zvlášť derivuju to sin(x)? Tz., že mohu použít ten vzorec v růžovém rámečku, a vyjde mi $sin(x+10\pi )$ ? Chápu to dobře, nebo zase ne? Nezlob se. Děkuji.

vlado_bb · 08. 12. 2019 22:15

↑ mikraa: Nevidim dovod pouzivat ten vztah v cervenom ramceku, staci to, co uz urcite vies, teda

$(\sin x)'= \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

Vidime teda, ze kazda stvrta derivacia sinusu je rovnaka (pripadne si ich napis).

No a uz len dosadenie, jedine, co treba zratat, bude $20 \choose 2$ , inak to ide v podstate z hlavy. A $20 \choose 2$ vlastne tiez z hlavy.

mikraa · 08. 12. 2019 22:38

↑ vlado_bb:
Moc děkuji, konečně jsem pochopila, jak na ten vzorec:-) Byla to ale dřina:-) Díky za trpělivost:-)

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2019 15:29 — Editoval mikraa (07. 12. 2019 15:38)

n-tá derivace

#2 07. 12. 2019 15:32

Re: n-tá derivace

#3 07. 12. 2019 15:35

Re: n-tá derivace

#4 07. 12. 2019 16:17

Re: n-tá derivace

#5 07. 12. 2019 16:26

Re: n-tá derivace

#6 07. 12. 2019 17:11

Re: n-tá derivace

#7 08. 12. 2019 20:04

Re: n-tá derivace

#8 08. 12. 2019 20:25 — Editoval vlado_bb (08. 12. 2019 20:32)

Re: n-tá derivace

#9 08. 12. 2019 20:39

Re: n-tá derivace

#10 08. 12. 2019 21:05 — Editoval vlado_bb (08. 12. 2019 21:05)

Re: n-tá derivace

#11 08. 12. 2019 21:24

Re: n-tá derivace

#12 08. 12. 2019 21:25

Re: n-tá derivace

#13 08. 12. 2019 21:32

Re: n-tá derivace

#14 08. 12. 2019 21:34 — Editoval vlado_bb (08. 12. 2019 21:35)

Re: n-tá derivace

#15 08. 12. 2019 22:01

Re: n-tá derivace

#16 08. 12. 2019 22:15

Re: n-tá derivace

#17 08. 12. 2019 22:38

Re: n-tá derivace

Zápatí