Matematické Fórum

Sima123 · 10. 12. 2019 13:01

Dobrý deň. V zadaní úlohy je napísané:
Dokážte, že rovnica x=cos(ln x) má na intervale (0,1) riešenie. Určte počet riešení tejto rovnice na tomto intervale.

Mohol by mi prosím poradiť niekto, akým smerom sa uberať?
Dala som si ju vykresliť a viem, že riešenia sú 3. Ale neviem ako to podložiť výpočtom. Ani o čo sa oprieť. Ďakujem za každý návod a radu.

vlado_bb

↑ Sima123:Zamysli sa nad priebehom funkcie $f(x)= \cos \ln x$ v pravom okoli nuly.

Sima123 · 10. 12. 2019 13:44

↑ vlado_bb:
Vidím ju nakreslenú, vďaka programu, ale neviem ako na to prísť cez čísla. Priebeh funkcie som zatiaľ riešila len cez derivacie a zistovala tak lokalne extrémy, prípadne viem asi určiť monotonnost a ohraničenosť, ale netuším ako mi to pomôže pri zisťovaní počtu riešení.

vlado_bb · 10. 12. 2019 13:49

↑ Sima123: Ziadne derivacie nepotrbujes. Vsimni si spravanie logaritmickej funkcie v okoli nuly. Odhadnut pocet nulovych bodov a bodov, kde $\cos \ln x$ nadobuda hodnotu $1$ nemoze byt pre studentku FMFI najmensi problem.

Sima123 · 10. 12. 2019 14:07

↑ vlado_bb:
Okej. Počet nulových bodov je 3 aj počet bodov kde funkcia nadobúda hodnotu 1 je 3. Prečo mi z toho vyplýva, že počet riešení je 3? Uniká mi asi niečo z teórie. Nikde v zošite neviem nájsť vetu alebo definiciu alebo čokoľvek čo by na toto odkazovalo.

vlado_bb

↑ Sima123:Staci si uvedomit, ze ide o spojitu funkciu. Medzi tie tri nulove body pravej strany si zaradila aj $e^{-2019 \frac{\pi}{2}}$ ? Ako si zistila, ze su prave tri?

krakonoš · 10. 12. 2019 15:10

↑ vlado_bb:
Ale tady se vůbec nemá počítat, kdy je cos(lnx)=1.Zde je cos(lnx)=x
Stačí si označit lnx jako y, uvědomit si čemu je rovno x, a že y<0.

vlado_bb · 10. 12. 2019 16:10

↑ krakonoš: Predpokladam ze ↑ Sima123: rozumie preco su dolezite nulove a jednotkove hodnoty funkcie na pravej strane a ako sa vyuzije Darbouxova vlastnost.

krakonoš

↑ vlado_bb:
Mně příjde, že to vede na aplikaci Bolzanovy věty na intervalech $<\frac{1}{e^{(2k+1)\pi /2}};\frac{1}{e^{k\pi }}>$ , kde k je sudé

vlado_bb · 10. 12. 2019 21:11

↑ krakonoš:Dakujem, mne je ale riesenie ulohy od zaciatku jasne. Predpokladam, ze uz aj zadavatelke, nakolko sa neozyva.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2019 13:01

Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#2 10. 12. 2019 13:10 — Editoval vlado_bb (10. 12. 2019 13:22)

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#3 10. 12. 2019 13:44

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#4 10. 12. 2019 13:49

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#5 10. 12. 2019 14:07

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#6 10. 12. 2019 14:36 — Editoval vlado_bb (10. 12. 2019 14:57)

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#7 10. 12. 2019 15:10

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#8 10. 12. 2019 16:10

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#9 10. 12. 2019 17:27 — Editoval krakonoš (10. 12. 2019 17:53) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#10 10. 12. 2019 19:40 — Editoval krakonoš (10. 12. 2019 19:43)

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

#11 10. 12. 2019 21:11

Re: Určenie počtu riešení rovnice na intervale

Zápatí