Matematické Fórum

veronica · 08. 01. 2008 11:14

prosím o vypočítání přibližné hodnoty arcsin 0,47. vím, že se tam použává diferenciálu, ale netuším jak. děkuju

veronica · 08. 01. 2008 11:30

nebo se dá také počítat pomocí Taylorova mnohočlenu?

za každý nápad děkuju

Marian · 08. 01. 2008 11:36 — Editoval Marian (08. 01. 2008 11:47)

V podstate to souvisi nejak s Taylorovym polynomem. Pro dostaecne male hodnoty h plati totiz za jistych podminek vztah

$f(x_0+h)\approx f(x_0)+h\cdot f'(x_0).$

Za x_0 se voli takova hodnota, kde jsme schopni presne spocitat funkcni hodnotu $f(x_0)$ . Cislo h musi byt dostatecne male (v nasem pripade je -0.03, nebot 0.47=0.5+(-0.03) a hodnotu arcsin (0.5) jsme schopni spocitat "snadno"), jinak by byla aproximace spatna. Funkce f(x) je v nasem pripade arcsin(x).

Tedy bude

$\arcsin (0.47)\approx \arcsin (0.5)+(-0.03)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\left (\frac{1}{2}\right )^2}}= \frac{\pi}{6}-\frac{3}{100}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}-\frac{sqrt{3}}{50}$ .

Tato hodnota se da jiste zaokrouhlit a muzeme ji povazovat za aproximaci cisla arcsin (0.47).

Po uvedenem zaokrouhleni pak je

$\arcsin (0.47)\approx 0.488957759$ , pricemz kalkulacka nebo pocitac dava pro arcsin (0.47) hodnotu 0,489290778.