Matematické Fórum

Grigorij · 02. 06. 2009 18:26

Asi jsem zaspal někde na základní škole(asi na zvláštní :-) )

tohle mi dělá velké problémy,může mi někdo napsat jak obecně postupovat???
zítra dělám zkoušku , a nerad bych se zasekl hned na začátku příkladu jestli to tam bude...

xxsawer · 02. 06. 2009 19:09

↑ Grigorij:

Uf...vždyť to vůbec nejde přečíst...přepiš to normálně sem místo fotky...

Grigorij · 02. 06. 2009 19:19

↑ xxsawer:
no ono jde o rozklad na součin ,fakt se stydím,ale jak přemýšlím ,tak nevidím jak se k tomu došlo

x na 3 + 12x + 16

(x+2) (-x na 2 + 2x +8)

(x+2) (x + 2) (4 - x)

Olin · 02. 06. 2009 19:27

Vzhledem k tomu, že se jedná o normovaný polynom (u členu s nejvyšší mocninou je koeficient 1) a všechny koeficienty jsou celá čísla, dají se zkusit tipnout nějaké kořeny pomocí věty o celočíselných (popř. racionálních) kořenech - celočíselné kořeny musí být dělitelem absolutního členu. Tudíž má smysl vyzkoušet $\pm 1,\, \pm 2,\, \pm 4,\, \pm 8,\, \pm 16$ .

Jakmile najdeme jeden kořen, podělíme kořenovým činitelem a dostaneme kvadratický dvojčlen, který už se rozloží snadno.

Grigorij · 02. 06. 2009 19:40

↑ Olin:
Mohl by jsi prosím napsat konkrétní postup u tohohle příkladu?

Olin · 02. 06. 2009 19:51

No, on ten postup není nic zvláštního. Jen pro jednoduchost si označím
$P(x) = -x^3 + 12 x + 16$

Vyzkouším možné celočíselné kořeny - jsou to dělitele absolutního členu 16 (pokud daný polynom má celočíselný kořen, potom musí být mezi těmito děliteli, ovšem taky vůbec žádné celočíselné kořeny mít nemusí).

Takže zkouším:

$P(1) = 27\nl P(-1) = 5\nl P(2) = 32\nl P(-2) = 0$

Ejhle, nalezli jsme jeden. Podělíme kořenovým činitelem:
$(-x^3 + 12 x + 16):(x+2) = -x^2 + 2x + 8$
(konkrétní postup jak se dělí polynom polynomem tady popisovat nebudu).

Nově získaný kvadratický polynom už umíme snadno rozložit, přes diskriminant nebo metodou "podívám se a vidím" či jakkoliv jinak je zrovna libo.
$-x^2 + 2x + 8 = -(x-4)(x+2)$

Odtud tedy máme
$-x^3 + 12 x + 16 = -(x+2)^2(x-4)$

Vzhledem k tomu, že tento polynom má jeden dvojnásobný kořen, mohli bychom použít fígl na nalezení násobných kořenů, kdy hledáme největšího společného dělitele původního polynomu a jeho derivace, to mi ale v tomto případě přijde zbytečné (navíc jsme na začátku vůbec nevěděli, že tento polynom nějaký násobný kořen má).