Matematické Fórum

ce4aser · 21. 12. 2019 06:38

Ma zaujima tento integral
$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx$

Ked to pocitam vychadza mi to ze je to nula.
$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx=\int_{0}^{\infty }(\frac{1}{x}+\frac{1}{-x})dx=\int_{0}^{\infty } (\frac{1}{x}-\frac{1}{x})dx=\int_{0}^{\infty }0dx=0$

Preco je to ze diverguje?:
$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx=\int_{0}^{\infty }0dx=diverguje$

jarrro · 21. 12. 2019 08:24 — Editoval jarrro (21. 12. 2019 08:26)

Ahoj. Aký integrál?
Ak nevlastný Riemannov tak ten neexistuje, lebo keby existoval tak by sa musel rovnať hodnote
$\lim_{s\to\infty}{$\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}{\int\limits_{-s}^{-\varepsilon}{\frac{\mathrm{d}x}{x}}}$}+\lim_{s\to\infty}{$\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}{\int\limits_{\varepsilon}^{s}{\frac{\mathrm{d}x}{x}}}$}$
ktorá je nedefinovaná, lebo ide o rozdiel nekonečien.

Ak ide o Lebesguov integrál tak ten je nedefinovaný preto, lebo nezáporná aj záporná časť funkcie $\frac{1}{x}$ má nekonečný L integrál a opäť definičný rozdiel je nedefinovaný.

Ak ide o Newtonov integrál tak je problém v tom, že $\lim_{t\to\infty}{\ln{\left|x\right|}}=\lim_{t\to-\infty}{\ln{\left|x\right|}}=\infty$ teda opäť odčítaš nekonečná.

A pokročilé to veľmi nie je.

ce4aser · 21. 12. 2019 09:33

Jj, ale nech dosadim x a -x tak plati $|\frac{1}{x}|=|\frac{1}{-x}|$ nevidim dovod ked dosadim za x rovnake cislo vysledok by mal byt rozny cize rozne nekonecna tak ako sa to uvazuje v limitach $\lim_{x\to0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})=\lim_{x\to0}\frac{0}{x}=\lim_{x\to0}\frac{0}{1}=0$ a furt logicky mi to vychadza 0.

Bati · 21. 12. 2019 10:12

↑ ce4aser:
Problem je, ze pak neplati $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx=\int_{0}^{\infty }(\frac{1}{x}+\frac{1}{-x})dx$ kvuli tomu, co psal jarrro.

Jedine, co vyjde nula je
$(p.v.)\int_{-\infty}^{\infty}\frac1x=\lim_{\varepsilon\to0_+}$\int_{-\frac1{\varepsilon}}^{-\varepsilon}\frac1x+\int_{\varepsilon}^{\frac1{\varepsilon}}\frac1x$$ ,
coz je tzv. hlavni hodnota integralu.

Rumburak

↑ ce4aser:
Ahoj.

V souvislosti s historickým vývojem matematiky máme několik definic určitého integrálu:

- Newtonovu či Newton-Leibnizovu postavenou na pojmu "primitivní funkce",

- Riemannovu postavenou na jistým způsobem definovaných "dolních" a "horních" součtech,

- Lebesgueovu, která je zobecněním definice Riemannovy,

a našly by se i definice další. Tyto definice ekvivalentní nejsou, avšak pro konkretní integrál platí:
existiuje-li podle dvou z uvedených definic, potom příslušné jeho hodnoty se shodují.

Ideálním případem je integrál spojité funkce přes uzavřený interval. Ten existuje podle všech
uvedených definic a jeho hodnota tedy nezávisí na definici, kterou si zvolíme. V ostatních případech
je vhodné stanovit, ze které definice integrálu máme vycházet.

Integrál $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx$ neexistuje podle žádné z definic, které jsem uvedl.

ce4aser · 22. 12. 2019 06:51

↑ Rumburak:

Ahoj musim mi to vysvetlit na prikladoch kedy to zlyhava alebo nieco take.

$\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx - \int_{-b}^{-a} \frac{1}{x}dx=0$ , ak a<>0 , b<>nekonecno

takze mozme skumat limity v tychto bodoch:
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{1}{-x}=\lim_{x\to0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})=0$
$\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x}+\lim_{x\to\infty }\frac{1}{-x}=\lim_{x\to\infty }(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})=0$

cize aj v ktirickych bodoch su limity 0

Prosim dajte mi par prikladoch kde to zlyhava alebo inak vysvetlit preco sa matamatici tak boja a zaskatulkuju to ze to nema vsledok.

misaH · 22. 12. 2019 08:17

↑ ce4aser:

No tak podľa všetkého výsledok je, že diverguje.

A už viem, prečo si úlohu zaradil medzi pokročilé... tipujem, že odborné argumenty kolegov ti absolútne nič nehovoria... :-D

Rumburak

↑ ce4aser:
Ahoj.

Ptáš se, proč integrál $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx$ diverguje.
Že diverguje, to ovšem není správně řečeno. Ve skutečnosti tento integrál
není definován, neboli neexistuje. Kdyby byl definován, musel by být podle
obecných vět o integrálech splněn vztah

$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx = \int_{-\infty }^0\frac{1}{x} dx + \int_0^{\infty }\frac{1}{x} dx = -\infty + \infty$ ,

kde ale vychází nedefinovaný výraz.

laszky · 23. 12. 2019 14:20

↑ Rumburak:

Ahoj, takze treba takovej integral

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^3+\sqrt[3]{x}}$

existuje a je roven nule? Nebo treba integral

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2+\sqrt{|x|}}$

lze spocitat jako 2 krat integral od 0 do nekonecna?

Jak se vlastne pracuje s "integrovatelnou" singularitou uvnitr intervalu? Zde zrejme bude zalezet na tom, o ktery integral se jedna, ze?

Omlouvam se, ze vstupuju do diskuze, ale myslim, ze je to k tematu (a me to zajima :-) ).

ce4aser

↑ Rumburak:

Tak skusme pocitat:
$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{x}dx=\int_{0}^{\infty } \frac{1}{x}dx+\int_{-\infty }^{0} \frac{1}{x}dx=$
$=(\lim_{x\to\infty }ln|x|-\lim_{x\to0+ }ln|x|)+(\lim_{x\to0-}ln|x|-\lim_{x\to-\infty }ln|x|)=$
$=(\lim_{x\to\infty }ln|x|-\lim_{x\to-\infty }ln|x|)+(\lim_{x\to0- }ln|x|-\lim_{x\to0+ }ln|x|)=$
$=(\lim_{x\to\infty }ln|x|-\lim_{x\to\infty }ln|-x|)+(\lim_{x\to0- }ln|x|-\lim_{x\to0- }ln|-x|)=$
$=\lim_{x\to\infty }(ln|x|-ln|-x|)-\lim_{x\to0- }(ln|x|-ln|-x|)=$
$=\lim_{x\to\infty }0-\lim_{x\to0- }0=0$

A isiel som pekne podla postupu, tak ako sa to ma pocitat podla limit. Ono to je podla mna aj logicke kedze sa jedna o symetriu. Teda v absolutnej hodnote obsah 0+ a 0- je rovnaky. Keby nie tak by nebola symetria. Ale je. Ked som sa bavil s jednym tak ze fyzika je mnoho takychto vypoctov kde sa to bere ako 0. Napriklad aj toto:

$\int_{0}^{\infty }sin(x) dx = osciluje nevieme$ ale tento integral: $\int_{-\infty}^{\infty }sin(x) dx = 0$

co je aj logicke ked pocitame strednu hodnotu sinusoveho signalu v nekonecnom case logicky musi vyjst tiez nula. inak by sme vyrabali nieco z nicoho !!!

Bati · 23. 12. 2019 19:26 — Editoval Bati (23. 12. 2019 19:31)

↑ ce4aser:
Bohuzel jsi stale dost vedle.

V tvem prispevku neplati ani prvni rovnost, protoze druhy vyraz je nedefinovan (s pouzitim jakekoliv rozumne definice integralu). Ve skutecnosti delas nekolik chyb najednou, proto to zkusim jeste vysveltit trochu jinak.

Asi ti je jasne, ze se staci omezit napr. na "integral" $\int_{-1}^1\frac 1x$ , o nemz tvrdis, ze by mel byt nula. To je pravda, pokud ho DEFINUJES timto zpusobem:
$\int_{-1}^1\frac 1x:=\lim_{\delta\to0+}$\int_{-1}^{-\delta}\frac1x+\int_{\delta}^1\frac1x$=\ldots=0$ .
To skutecne muze byt dobra definice a jmenuje se Cauchyho hlavni hodnota integralu, coz uz jsem tu jednou psal. Nicmene je to jen jedna z moznych definic, jina definice by byla napr.
$\int_{-1}^1\frac 1x:=\lim_{\delta\to0+}$\int_{-1}^{-\delta}\frac1x+\int_{2\delta}^1\frac1x$=\ln \frac12$ ,
ktera se zase muze hodit v jinych situacich. Uvedom si hlavne, ze vyraz jako
$\int_{-1}^1\frac 1x:=\lim_{\delta\to0+}$\int_{-1}^{-\delta}\frac1x+\int_{2\delta}^1\frac1x$=\ln \frac12$
definovan je, ale
$\int_{-1}^1\frac 1x:=\lim_{\delta\to0+}\int_{-1}^{-\delta}\frac1x+\lim_{\delta\to0+}\int_{2\delta}^1\frac1x=\lim_{\delta\to0+}\int_{-1}^{-\delta}\frac1x+\lim_{\delta\to0+}\int_{\delta}^1\frac1x$
uz neni, protoze nelze aplikovat vetu o aritmetice limit. Jinymi slovy je dulezite singularity nejdriv od sebe odecist a pak az delat limitu, jinak to nemuze davat smysl.

A ohledne toho $\int_{-\infty}^{\infty}\sin x$ : opet bude zalezet na tom, jakym zpusobem udelas tu limitu.

ce4aser

↑ Bati:

chapem, velmi pekny argument, uz chapem preco sa tak mnohy boja s nekonecnom ale teraz vysvetlim ako ja chapem nekonecno.

Ja chapem matiku tak ze cislo neexistuje. Vsetko je funkcia. Cislo je len specialny pripad funkcie. Ak mame napriklad cislo -5 po celej x osi (-nekonecno az nekonecno) je to funkcia f(x)=-5.

Ak chceme pracovat s nekonecnom nemozeme to brat ako cislo. Ak chceme pracovat s tym musime vsetko vnimat ako funkcia. Cize musime poznat jej podstatu, ja si predstavujem ako DNA nekonecna. Pokial ho nepozname nedokazeme dalej s tym pracovat ziadnym sposobom.

Tiez sa asi zhodneme ze nekonecno mozme definovat nekonecnym mnozstvom funkcii. Cize ako keby nekonecne vela roznych DNA. Ak chceme s nekonecnom pracovat musime poznat jeho DNA. To iste plati aj pri ln(0). Respektive aj nulu mozme definovat roznymi sposobmi.

To iste plati aj ked vkladame parameter do funkcie. f(5) je vlastne f(g(x)=5). Napriklad: $f(x)=\frac{1}{x}$ je rozdiel ked vlozime $f(0)$ u ktoreho je $g(x)=1 \cdot 0$ alebo $f(5\cdot 0)$ je $g(x)=5 \cdot 0$ v tomto smere dostaneme pri $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{f(5x)}$ a uz vidis ze rovnost nekonecna tam nie je lebo bolo rozne $g(x)$ .

Teraz k tomu integralu:
$\int_{-1}^1\frac 1x:=\lim_{\delta\to0+}$\int_{-1}^{-\delta}\frac1x+\int_{2\delta}^1\frac1x$=\ln \frac12$
na jednom integrale si vlozil jednu funkciu $\delta =\lim_{x\to0} x$ a na druhom integrale si vlozil inu funkciu $\delta =\lim_{x\to0} {2x}$

Co znamena toto: $\int_{a(x)}^{b(x)} f(x) dx =\int_{a(x)}^{c(x)}f(x)dx+\int_{d(x)}^{b(x)} f(x) dx$ . A to uz zle. lebo medze c(x) a d(x) su rozne. Cize sme nedodrzali spojitost.

vlado_bb · 23. 12. 2019 20:53

ce4aser napsal(a):
↑ Bati:

Ja chapem matiku tak ze cislo neexistuje. Vsetko je funkcia. Cislo je len specialny pripad funkcie. Ak mame napriklad cislo -5 po celej x osi (-nekonecno az nekonecno) je to funkcia f(x)=-5.

A co je to teda ta vec na pravej strane rovnosti $f(x)=-5$ ?

ce4aser

↑ vlado_bb:

Uznam ze to nie je koser co som napisal ale chcel som len povedat ze cislo je tiez funkcia. A ked pracujeme s nekonecnom musime vsetko brat ako funkciu. Ak budeme vkladat za nulu rozne funkcie pri rozdeleneni integralu. Tym v podstate zmenime skalovanie (x osi) pravej a lavej strany.

Bati · 23. 12. 2019 21:13 — Editoval Bati (23. 12. 2019 21:14)

S prvni casti tveho prispevku souhlasim, to neni nic prekvapiveho, ze limita udela z funkce cislo, cimz dojde ke znacne ztrate informaci (ty jen argumentujes obracene, ze ke kazdemu cislu prislusi nejaka velka mnozina funkci). Pak si ale podle me protirecis, kdyz tvrdis, ze

ce4aser napsal(a):
↑ Bati:
Co znamena toto: $\int_{a(x)}^{b(x)} f(x) dx =\int_{a(x)}^{c(x)}f(x)dx+\int_{d(x)}^{b(x)} f(x) dx$ . A to uz zle. lebo medze c(x) a d(x) su rozne. Cize sme nedodrzali spojitost.

,protoze pred tim jeste chybi ta limita, ve ktere se ty rozdily mezi $a(x),b(x),c(x),d(x)$ mohou potlacit.

Hlavne si ale myslim, ze tva idea, ze pod kazdym cislem ma clovek videt funkci je proste blbost. Za prve: stejne budes muset driv nebo pozdeji rict JAKOU funkci tam mam dosadit, jinak ten zapis bude v mnoha situacich nejednoznacny, coz bude nejenom v matice, ale i fyzice zasadni problem. Za druhe, to, ze stejne cislo muzu dostat jako limitu ruznych funkci je naopak vyhoda pojmu cislo. Prece treba tvrzeni, ze vysledkem operace O(x), pokud x je takove a makove je porad to same cislo, muze veci dost usnadnit (viz napr. Taylorovy rady). Jiny priklad by napr. byla konstrukce realnych cisel jako limity cisel racionalnich, kde nekonecne mnoho rac. posloupnosti konverguje k jednomu cislu.

ce4aser

↑ Bati:

to ze v limite dokazeme pracovat s nekonecnom len vdaka tomu ze zname podstatu toho nekonecna zname presne funkcie.

$\lim_{x\to0}(\infty -\infty )=??$ takto s limitami nedokazeme pracovat.

Ale ked pozname podstatu nekonecna mozeme pocitat $g(x)=0$ :
$\lim_{x\to g(x)}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})=0$

to iste plati x->0

a.)
$g(x)=x$
$\lim_{x\to 0} g(x) = \lim_{x\to 0}x = 0$
$a=\lim_{x\to g(x)+} \frac{1}{x}=\lim_{x\to 0+} \frac{1}{g(x)}=\lim_{x\to 0+} \frac{1}{x}$

b.)
$g(x)=2x$
$\lim_{x\to 0} g(x) = \lim_{x\to 0}2x = 0$
$b=\lim_{x\to g(x)+} \frac{1}{x}=\lim_{x\to 0+} \frac{1}{g(x)}=\lim_{x\to 0+} \frac{1}{2x}$

$a-b=\lim_{x\to 0+} \frac{1}{x}-\lim_{x\to 0+} \frac{1}{2x}=\lim_{x\to 0+} \frac{2-1}{2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0+}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\cdot \infty$

u oboch limitach dosadzali 0 ale roznu nulu cize inu funkciu. preto je nutne to vsetko brat ako funkciu. Ked sme dosadzali rovnaku funkciu vysledok limity vysiel 0 ale ked roznu funkciu uz je to zase inak.

ce4aser · 23. 12. 2019 22:00

↑ Bati:

protoze pred tim jeste chybi ta limita, ve ktere se ty rozdily mezi $a(x),b(x),c(x),d(x)$ mohou potlacit.

V tom pripade:
$\int_{-1}^1\frac 1x:=\lim_{\delta\to0+}$\int_{-1}^{-\delta}\frac1x+\int_{2\delta}^1\frac1x$=\ln \frac12$

$\lim_{\delta \to0+}2\delta =0$ a do medzi integralu vkladat len 0 a nie 2*0 a vysledok integralu vyjde zase 0

a tocime sa stale len okolo toho ze ten integral sa rovna 0.

jarrro · 24. 12. 2019 13:58 — Editoval jarrro (08. 04. 2020 20:34)

Podľa mňa práve skutočnosť , že
hodnota $\lim_{\delta\to0+}$\int\limits_{-1}^{-f{\(\delta$}}{\frac{\mathrm{d}x}{x}}+\int\limits_{g{$\delta$}}^1{\frac{\mathrm{d}x}{x}}\)$
kde $f,g$ sú kladné funkcie s nulovou limitou sprava v v bode 0 sa môže s $f,g$ zmeniť je dobrý dôvod prečo nedefinovať $\int\limits_{-1}^1{\frac{\mathrm{d}x}{x}}$ to však nemusí znamenať, že sa v nejakom konkrétnom článku či aplikácii nemôže vyskytnúť situácia kedy je vhodné dosadiť za $f,g$ konkrétne funkcie vychádzajúce z povahy aplikácie. Potom je pre daný článok/aplikáciu vhodné daný integrál príslušnou rovnosťou definovať.

Brano · 25. 12. 2019 22:29

↑ ce4aser:

dobre tak sa teda nekonecien nebojme a podme postupovat "logicky" ako ty
$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x} dx=\int_{-\infty }^{0}\frac{1}{x} dx+\int_{0 }^{\infty }\frac{1}{x} dx$
predpokladam, ze toto bol tvoj prvy krok a potom si v prvom integrale urobil substituciu $x=-y$
ale urobme substituciu aj v druhom itegrale - konkretne $x=y^2$ a dostaneme
$-\int_{0}^{\infty }\frac{1}{y} dy+\int_{0}^{\infty }\frac{2}{y} dy=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{y} dy=...$
a este stale trvas na tom, ze je to nula?

matematici sa nekonecien neboja, matematici ich vymysleli a obvykle im aj rozumeju a preto vedia, ze ked chces pouzit nejaku vetu na upravu vyrazov, tak treba poznat aj jej predpoklady

krakonoš

Já myslím, že tady není co řešit.Ať už uvažujeme Newtonův integrál, kde integrujeme podél osy x, nebo Lebesgův integrál, kde integrujeme podél osy y, nebude integrál existovat, pokud dostaneme nekonečno - nekonečno.Co se týče střední hodnoty sinusového signálu, pokud i zde je myšlena střední hodnota jako statistický pojem, pak je její výpočet založen na Lebesguově integrálu.Existují i rozdělení, která vůbec nemají střední hodnotu, protože tento integrál prostě neexistuje. Jiná věc je, že fyzik to může definovat jako nulu z nějakého fyzikálního důvodu.
Podobně si představuji, že signum v nule je definováno jako nula, to si rozhodli lidi sami, podobně by mohl někdo říci, že to nebudeme v nule definovat vůbec.Definice vytvářejí lidi sami, pochopitelně by měly co nejvíce vyhovovat teorii.

ce4aser

↑ Brano:

Priklad je $0=c\cdot 0$ ekvivalentne ?
ked cislo konverguje (co je standardne pocitanie, kde sa citime doma) je to ekvivalentne pre vsetky c.
$\lim_{x\to0}x-\lim_{x\to0}cx=\lim_{x\to0}x(1-c)=0$

Ale ked nekonverguje: uz to nie je evivalentna uprava
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{1}{cx}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}(1-\frac{1}{c})$
len pri c=1 je vyraz ekvivalentny

Tak preco ocakavas spravny vysledok ked si spravil limitne neexvivalentnu operaciu. Mame f(x) a k nemu g(x) ktora je upravena od f(x). Ak sa limitne nezhoduju uprava bola typu ze sme vytvorili nieco z nicoho.

Ked bolo ukazane ze rozna funkcia v medziach integralu zmeni fn integralu cize sa limitne nezhoduju a uz na jednom pocitame iny integral a na druhom zase iny integral. Tak to treba ocavavat aj u substituce. Ked substiticiu nahradzas nejakou funkciou na lavej casti jednou a na druhej zase inou. A sme u toho ako s medzami $\delta\ldots vs \ldots c\delta$ . Preto treba substituciu pouzit v celom intervale povodneho integralu. alebo prepocitat medze nie pod konstantou ale po funkciu.

PS: Kazdemu z Vas, kto sa zapojil do temy VELMI VDACNE DAKUJEM to si ani neviete predstavit ako velmi vela.

krakonoš · 26. 12. 2019 12:34

↑ ce4aser:
Problém není skryt pouze v mezích.Ve skutečnosti jde o to, jak dáváš k sobě zápornou plochu(pod osou x) a kladnou plochu nad osou x.
Např
$\int_{0}^{\infty }\frac{sin x}{x}dx$ , Lebesgueův integrál nebude existovat vůbec, protože obsah plochy nad osou x je nekonečný, pod osou x rovněž nekonečný, takže při integraci podél osy y by ti vyšlo nekonečno-nekonečno.
Budeš-li integrovat podél osy x, dostaneš číslo konečné. Tento integrál se myslím dá spočíst i s pomocí reziduové věty přes křivkové integrály.
Zatímco u $\int_{-\infty }^{\infty }sinxdx$ si nedovedu představit žádné rozumné načítání plochy, pokud by šlo o příklad z fyziky, zřejmě v tom bude i myšlenka, že čas není u nějakého děje ve skutečnosti nekonečný nebo nějaké jiné fyzikální zákonitosti, a tak se to prohlásí za nulu.

krakonoš

↑ ce4aser:
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\lim_{x\to0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})$ nelze vůbec použít, protože lim(1/x) pro x jdoucí k nule vůbec neexistuje, a i kdyby existovala, např přepíšeš-li to na limitu zprava, levá strana rovnice bude nekonečno mínus nekonečno, tedy větu o limitě rozdílu nelze vůbec použít.

misaH · 26. 12. 2019 14:52

No.

Mne to pripadá, ako keby si zadávateľ myslel, že však nekonečno mínus nekonečno je nula...

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2019 06:38

Integral

#2 21. 12. 2019 08:24 — Editoval jarrro (21. 12. 2019 08:26)

Re: Integral

#3 21. 12. 2019 09:33

Re: Integral

#4 21. 12. 2019 10:12

Re: Integral

#5 21. 12. 2019 13:13 — Editoval Rumburak (21. 12. 2019 13:22)

Re: Integral

#6 22. 12. 2019 06:51

Re: Integral

#7 22. 12. 2019 08:17

Re: Integral

#8 23. 12. 2019 13:15 — Editoval Rumburak (23. 12. 2019 13:21)

Re: Integral

#9 23. 12. 2019 14:20

Re: Integral

#10 23. 12. 2019 17:25 — Editoval ce4aser (23. 12. 2019 17:40)

Re: Integral

#11 23. 12. 2019 19:26 — Editoval Bati (23. 12. 2019 19:31)

Re: Integral

#12 23. 12. 2019 20:44 — Editoval ce4aser (23. 12. 2019 20:46)

Re: Integral

#13 23. 12. 2019 20:53

Re: Integral

ce4aser napsal(a):

#14 23. 12. 2019 21:06 — Editoval ce4aser (23. 12. 2019 21:08)

Re: Integral

#15 23. 12. 2019 21:13 — Editoval Bati (23. 12. 2019 21:14)

Re: Integral

ce4aser napsal(a):

#16 23. 12. 2019 21:46 — Editoval ce4aser (23. 12. 2019 21:54)

Re: Integral

#17 23. 12. 2019 22:00

Re: Integral

#18 24. 12. 2019 13:58 — Editoval jarrro (08. 04. 2020 20:34)

Re: Integral

#19 25. 12. 2019 22:29

Re: Integral

#20 25. 12. 2019 23:35 Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#21 25. 12. 2019 23:48 — Editoval krakonoš (26. 12. 2019 00:04)

Re: Integral

#22 26. 12. 2019 10:13 — Editoval ce4aser (26. 12. 2019 10:13)

Re: Integral

#23 26. 12. 2019 12:34

Re: Integral

#24 26. 12. 2019 14:34 — Editoval krakonoš (26. 12. 2019 14:34)

Re: Integral

#25 26. 12. 2019 14:52

Re: Integral

Zápatí