Matematické Fórum

Geee · 02. 06. 2009 22:39

Jakým způsobem se řeší takovéto rovnice - určete nejmenší kladný reálný kořen rovnice $cos^2x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}sin x$ a co je to nejmenší kladný reálný kořen? díky Geee

Kondr · 02. 06. 2009 23:25

Funkce nalevo i napravo jsou periodické, proto má rovnice buď 0, nebo nekonečně mnoho kořenů (s každým kořenem k je kořen i $k+2\pi,k+4\pi,...$ , my tedy hledáme kořen mezi 0 a $2\pi$ a pokud takových bude víc. menší z nich. Doporučuju dosadit z rovnice $cos^2x=1-sin^2 x$ , pak si označit sin x=y, najít y a dohledat x.

gadgetka

$cos^2x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\nl1-\sin^2 x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}sin x\nl\sin^2 x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin x=0\nl\sin x(\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2})=0\nl\sin x=0\Rightarrow x_1=k\pi\nl\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x_2=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\qquad x_3=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

Předpokládám interval $\langle0;2\pi\rangle\Rightarrow k\in\{0,1\}$

$L(0)=\cos^2 (0^{\circ})=1\nlP(0)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (0^{\circ})=1\qquad L(0)=P(0)$

$L(2\pi)=\cos^2 (2\pi)=1\nlP(2\pi)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (2\pi)=1\qquad L(2\pi)=P(2\pi)$

$L(\pi)=\cos^2 (\pi)=1\nlP(\pi)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (\pi)=1\qquad L(\pi)=P(\pi)$

$L$\frac{4\pi}{3}$=\cos^2 $\frac{4\pi}{3}$=\frac{1}{4}\nlP$\frac{4\pi}{3}$=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin $\frac{4\pi}{3}$=\frac{1}{4}\qquad L$\frac{4\pi}{3}$=P$\frac{4\pi}{3}$$

$L$\frac{5\pi}{3}$=\cos^2 $\frac{5\pi}{3}$=\frac{1}{4}\nlP$\frac{5\pi}{3}$=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin $\frac{5\pi}{3}$=\frac{1}{4}\qquad L$\frac{5\pi}{3}$=P$\frac{5\pi}{3}$$

$x\in \{k\pi, \frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3};k=0,1\}$

a výběr toho nejmenšího kořene nechávám na Tobě :)

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2009 22:39

rovnice

#2 02. 06. 2009 23:25

Re: rovnice

#3 03. 06. 2009 00:21 — Editoval gadgetka (04. 06. 2009 13:41)

Re: rovnice

Zápatí