Matematické Fórum

CzechMan · 03. 06. 2009 01:59

Zdravím, ono jde tak spíše o historickou otázku, wiki nepomohla a nenenapadá mě, jak bych mohl googlit.

Vcelku přirozený tvar zbytku je integrální, ten přímo vyplne z odvození Taylorova polynomu přes per partes. (šlo by to vůbec jinak?)

$\int_{a}^{x}\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}dt$
kde $f^{(n+1)}$ značí (n+1).tou derivaci.

Integrál je samozřejmě celý natěšený na ...zintegrování. To se dá, zdá se, nekonečně mnoha způsoby, ale na wiki jsou dva.
Lagrangeův tvar zbytku
$http://upload.wikimedia.org/math/f/1/3/f1314fdb084099134ada5de682c3672c.png$
ξ v [a,x]

a Cauchyho tvar zbytku
$http://upload.wikimedia.org/math/1/c/c/1cc885b7eb7e50ab49e0fd26a23bb35e.png$
ξ v [a,x]

Cauchyho tvar zbytku se dá dokázat pomocí elementární a esenciální věty O střední hodnotě diferenciálního počtu, tedy Lagrangeovy věty o střední hodnotě.
Tedy, že pro spojitou a diferencovatelnou f existuje takové c v [a,b], že $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Zároveň se zdá, že k odvození Lagrangeova tvaru zbytku potřebuju Zobecněnou větu o střední hodnotě diferenciálního počtu, tedy Cauchyho větu o střední hodnotě
$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}$ .
A volbou vhodné funkce g se dá odvodit Cauchyho i Lagrangeův tvar. (Což nepřekvapuje, protože Langrangeova věta o střední hodnotě je nakonec jen důsledkem Cauchyho věty)

A tak se mi to zdá podivné. Lagrange musel 'svou' (je přeci nás všech :) ) větu publikovat před Cauchym, protože později by jeho výsledek neměl žádnou cenu.
Tedy je i celkem rozumné, že Lagrangeův tvar zbytku musel být na světě dříve než ten Cauchyho.
Přecijenom: Lagrange (1736 - 1813) a Cauchy (1789 -1857), Tak že by Cauchy do svých 23 let stihl 'pokořit' svého učitele(to je jak z nějakého filmu s Brucem Lee) zobecněním jeho věty, učitel Lagrange by zobecněnou větu použil k odvození zbytku Taylorova polynomu n-tého řádu, a protože ten Cauchy byl pěkně nevděčný zmetek, tak mu ani tuto poctu nenechal a vytvořil si vlastní tvar zbytku. Možné by to bylo, ale nepravděpodobné.
On to ten Lagrange musel umět zintegrovat jinak, ale svou větu o střední hodnotě nepoužil (teda mohl, ale mi vychází jenom Cauchyho tvar). Ví někdo, jak to ten ničema udělal? Uniká mi něco fundamentálního?

(jak jsem se koukal, Lagrangeova věta o střední hodnotě je mnohem starší než Lagrange sám - důvod, proč je pojmenovaná po něm je určitě zajímavý (neví někdo?:) ), ale na věci to vlastně nic nemění.)
(teda mění, třeba cuachyho věta taky není původně od Cauchyho a tím by veškeré úvahy ztrácely smysl.)

Ono je vůbec těžké najít původní důkazy, sice elegantně to jde na jeden řádek, ale to pak není žádná sranda.

Případně i děkuji :)

jelena · 19. 07. 2009 00:17

↑ CzechMan:

Zdravím,

umístím sem nějaké odkazy, co by mohlo navést, asi by bylo zbytečné, abych zde zpracovavala nějakou rozsahlejší studii k tématu.

http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_calculus

seznam literatury, ze které by se možna něco našlo

pohledat, zda není český překlad Juškevič Dějiny matematiky, 3.díl - myslím, že už jsem davala odkaz (asi zde), ale asi není přeložen - ruská varianta je zde: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo … 972ru.djvu od str. 282.

Jak to myslel Lagrange.

A co mu na to odpověděl Cauchy - asi to mezi sebou neměli dobré, jelikož ihned v předmluvě Cauchy staví své pojetí analýzy proti výženému autorovi Analytické mechaniky, ale ani neuvádí jméno Lagrange, jen takto tvrdě. A pry celé dílo Cauchy je zaměřeno na popření přístupu Lagrange.

To je jen takový nástin, snad někdo doplní. Samozřejmě, pokud bude potřeba nějakého drobného překladu z ruštiny, tak se zapojim, francouštinu přenechám kolegovi haloganovi.

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2009 01:59

Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu - historie

#2 19. 07. 2009 00:17

Re: Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu - historie

Zápatí