Matematické Fórum

marostul · 09. 01. 2020 11:28

Dobrý deň. po dlhšom čase sa prihlasujem znova. Chcem sa opýtať aké je odvodenie integrálu ktoré je použité napr. vo výpočte reťazovky $x=\int_{}^{}\frac{\textbf{d}s\cdot a}{\sqrt{1+\frac{s^{2}}{a^{2}}}}=a\cdot \sinh^{-1} \frac{s}{a}$
Za odpoveď vopred ďakujem

Ferdish

Pokiaľ to nemá nejaký fyzikálny kontext, tak to patrí do sekcie VŠ matematika (eventuálne SŠ, neviem či v profile máš školu ktorú študuješ, alebo ktorú si už ukončil).

Čo presne myslíš tou "reťazovkou"? Z fyziky sa mi nič nevybavuje, môžeš byť presnejší?

marostul · 09. 01. 2020 14:54

pri reťazovke sa používa pre pre výpočet polovičnej vzdialenosti stĺpcovx vzorec $x=a\cdot \sinh^{-1} \frac{s}{a}$ .
vychádza sa z rovnice oblúka $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}s }=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{s^{2}}{a^{2}}}}$ kde s je dĺžka oblúka, a je parameter oblúka. Pri reťazovke je to tak isto. x je vzdialenosť polovičná vzdialenosť oblúka. Pri vzorcoch pre integrály som našiel iba integrál $\int_{}^{}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}+s^{2}}}=\sinh^{-1} \frac{a}{x}$ . Nie som si istý či som predtým ten integrál správne zapísal. ďakujem za odpovede

Ferdish

↑ marostul:
Ten posledný integrál mi tam nesedí. Nespravil si náhodou preklep? Nemá byť náhodou posledný integrál byť zapísaný ako $\int_{}^{}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}=\sinh^{-1} \frac{a}{x}$ ???

marostul · 09. 01. 2020 16:59

v podstate to vychádza tak ako keby namiesto x bol s. vychádza sa z rovnice pre reťazovku ktorá je odvodená zo síl ktoré pôsobia na ňu, resp. vzdialenosti sú odvodené od váhy reťazovky podľa g. sily pôsobia váha reťazovky smerom dole a sila na spodu reťazovky kolmo na váhu. výsledná sila bude lastne prepona pravouhlého trojuholníka. keď priradíme výšku stĺpca výslednej sile tak pomer s/a je tangens tzn. je to prvá derivácia reťazovky. a priradíme ako výšku od zeme s ako 0,5 veľkosti reťaze a y ako výšku st´pca vychádza z toho rovnica $y^{2}=a^{^{2}}+s^{2}$ . keď to rozvinieme tak nám vychádza vzorec $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d}x }=\frac{\sqrt{1+\frac{s^{2}}{a^{2}}}}{a}$ . obrátením a integrovaním dostaneme výsledný vzorec pre polovicu vzdialenosti stĺpcov $x=a\cdot \sinh^{-1}\frac{s}{a}$ . x v tom prípade je polovičná vzdialenosť stĺpcov. ospravedlňujem sa, že tolko krát písal. odosielal som cez email a neodišlo mi to preto toľko krát som to opakoval

Ferdish

↑ marostul:
Práve to som chcel vedieť: či v tvojom predošlom príspevku je preklep v poslednom vzťahu vo forme $s^2$ namiesto $x^2$ , lebo si tam zmixoval obe premenné dokopy...ale nevadí, odpoveď na svoju otázku si už našiel sám. Šlo to ukázať aj cez obyčajnú substitúciu.

Nabudúce radšej píš priamo do fóra, keď už tu máš účet - je to rýchlejšie a istejšie. A tiež sa snaž používať interpunkciu, skloňovať a nerobiť preklepy, pretože z niektorých tvojich textov som mal pocit ako keby ich vygeneroval Google prekladač :-)

marostul · 11. 01. 2020 22:49

Ďakujem za odpoveď. Práve na tú substitúciu sa chcem opýtať. Musíme mať podľa vzoru aby nám to číselne vychádzalo podľa vzorca kde miesto x vložíme s/a dostávame vzorec $\sinh^{-1}\frac{s}{a}= \ln \langle \frac{s}{a}+\sqrt{\frac{s^{2}}{a^{2}}+1}\rangle$ V tom prípade by sa t mala rovnať $t=[\frac{s^{2}}{a^{2}}+1] \Rightarrow \textbf{d}t=2\frac{s}{a}\textbf{d}x$ . Vlastne chcel som sa opýtať na tú substitúciu.

Ferdish · 12. 01. 2020 10:09

Pozri si poriadne posledné 2 rovnosti čo si napísal. Odkiaľ sa tam nabral diferenciál $dx$ , keď v substitučnom vzťahu nie je o premennej $x$ ani zmienka?

marostul · 12. 01. 2020 14:25

Ďakujem za opravu. Podľa Vzoru keď zderivujem substitúciu dostanem $\langle\frac{s}{s}\rangle^{2}-1\Rightarrow dt=2\frac{s}{a}$ kde som miesto x dosadil s/a. Neviem s tým pohnúť

marostul · 12. 01. 2020 15:16

ešte chcem doplniť neviem presne aká má byť substitúcia v menovateli je $\sqrt{a^{2}+s^{2}}$ potom substitúcia by bola $dt=2\frac{s}{a}$ .

Ferdish

Jedna chyba opravená, ďalšie dve vyrobíš...ty naozaj nevidíš tie chyby pri svojich zápisoch? Máme tu LaTeX editor s náhľadom, kde sa ti "naživo" ukazujú všetky výrazy, ktoré doň píšeš, takže prípadnú chybu hneď vidíš a nemusíš ju pracne hľadať v zápise kódu.

Navyše môžeš KEDYKOĽVEK opraviť už odoslaný príspevok, prípadne niečo doň doplniť kliknutím na tlačítko "Editovat" v jeho pravom dolnom rohu. Tak to využívaj.

Ak si nezačneš po sebe poriadne čítať a kontrolovať texty ktoré píšeš, nepočítaj s mojou ďalšou pomocou...

marostul

Našiel som niečo podľa príkladu $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}=\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3}}}=arc\sin \frac{1}{3\frac{}{}}$ tomu veľmi dobre rozumiem.
V tom prípade by mohol byť integrál $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{dx}{\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}}$ . Keď inverzný hyperbolický sínus má vzorec $\sinh^{-1}=\ln \{\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\}$ tak člen pod odmocninou mi vychádza ale x neviem odvodiť. Neviem ako mám odvodiť dt

Ferdish

↑ marostul:
Buď tomu nerozumieš, alebo tomu rozumieš, avšak pri aplikácii si zbrklý a robíš chyby z nepozonosti. A potom ti výsledky nevychádzajú. Už v tomto výraze

$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}=\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3}}}=arc\sin \frac{1}{3\frac{}{}}$

máš chyby pri úpravách podintegrálneho výrazu a navyše ti vo výsledku vypadla premenná $x$ . Máš neurčitý integrál, pri integrovaní nedosadzuješ za premennú konkrétne hodnoty hornej a dolnej hranice, takže premenná podľa ktorej si integroval ti nemôže len tak zmiznúť...a samozrejme pri neurčitom integrovaní (pri jednej premennej) je výsledok obohatený o reálnu konštantu.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

MichalAld

Já teda nejsem žádný odborník na počítání integrálů, ale když už se to tu táhne tak dlouho, tak jsem si řekl, že to zkusím taky (vzhledem k tomu, že je tu i řešení):

$\int_{}^{}\frac{\textbf{d}s\cdot a}{\sqrt{1+\frac{s^{2}}{a^{2}}}}=a\cdot \sinh^{-1} \frac{s}{a}$

Budeme k tomu určitě potřebovat ty hyperbolické funkce a jejich vlastnosti - ta základní, co potřebujeme je:

$\cosh^2x = 1 + \sinh^2x$

Dále pak jejich derivace:

$\frac{d}{dt} \sinh x = \cosh x$
$\frac{d}{dt} \cosh x = \sinh x$

Základem je substituce

$s = a \sinh q$

z níž plyne i vztah pro diferenciály
$ds = (a \cos q) dq$

Po dosazení za s a ds dostaneme

$\int_{}^{}\frac{a ds}{\sqrt{1+\frac{s^{2}}{a^{2}}}}=\int_{}^{}\frac{a^2 \cosh q dq}{\sqrt{1+\frac{a^2 \sinh^2 q}{a^2}}}=\int_{}^{}\frac{a^2 \cosh q dq}{\cosh q}=\int_{}^{}a^2 dq = a^2q$

Ze vztahu, co jsme použili jako substituci vyjádříme q a dostaneme
$q = \sinh^{-1}\frac{s}{a}$

Takže to vychází $a^2 \sinh^{-1}\frac{s}{a}$

Trochu se to liší od uváděného výsledku...ale podle toho, co se mi podařilo najít by to mělo být správně...protože derivace

$\frac{d}{dx} \sinh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

takže

$\frac{d}{dx}(a^2 \sinh^{-1}\frac{x}{a}) = a^2 \frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}}a^{-1}=\frac{a}{\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}}$

marostul

Ďakujem za príspevok. ja som podľa predchadzajúceho vzorca som počítal cez logaritmi podľa vzorca
$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}$ . z toho môžem odvodiť substitúciu $t=\langle\frac{x}{a}\rangle^{2}+1$ diferenciál bude $dt=2\frac{x}{a}dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{2\frac{x}{a}}$ . vložením do vzorca a dosadením za dt 1 dostaneme vzorec $\int_{}^{}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}\cdot \frac{dx}{2\frac{x}{a}}$ . po úpave $\frac{1}{2}\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}\cdot \frac{ds}{\langle\frac{x}{a}\rangle}=\frac{1}{2}\ln \{\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\}$ . podľa predchadzajúceho príkladu a sa vyruší. ale 2 mi ostava. neviem kde robím chybu. Napadá ma ešte jedna možnosť kde pri derivácii v zlomku, zvlášť derivujem x aj a. potom dostanem po derivácii dostanem $[\frac{x^{2}}{a^{2}}+1]=[\frac{x^{2}}{a^{2}}+1]\Rightarrow \frac{2x}{2a}=\frac{x}{a}$ . a je premenná nie je konštanta. asi to podľa logaritmov nepôjde.

Ferdish

marostul napsal(a):
diferenciál bude $dt=2\frac{x}{a}dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{2\frac{x}{a}}$ .

*FACEPALM*

Pri počítaní diferenciálu derivuješ len $x^{2}$ , $a^{2}$ resp $\frac{1}{a^{2}}$ je konštanta...

marostul

Ďakujem za opravu v tom prípade by bol diferenciál $t=\frac{x^{2}}{a^{2}}+1\Rightarrow dt=\frac{2x}{a^{2}}dx$ . zapísaním do integrálu dostanem $\int_{}^{}\frac{dx}{a\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}\cdot \frac{ds}{\frac{x}{a}}$

Ferdish

Beriem ťa na milosť, pretože sa na tie tvoje kiksy nemôžem ďalej dívať. Ak ti môžem poradiť, zožeň si niekoho na doučovanie aby ti pomohol aspoň s týmito troma matematickými oblasťami:

(1) riešenia integrálov o jednej premennej pomocou substitučnej metódy
(2) úpravy algebrických výrazov
(3) rozdiel medzi premennou a parametrom/konštantou v predpisoch funkcií

U študenta elektropriemyslovky sa neznalosť (1) dá ospravedlniť (lebo to zrejme práve preberáte), avšak bez znalosti (2) a (3) sa to robiť nedá. A ak si náhodou v treťom alebo maturitnom ročníku, tak je to naozaj tristná situácia. Toto sú úplné základy, bez ktorých by ani nemali ľudí pripúšťať k maturite z matematiky.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

marostul

Code:

Ďakujem za trpezlivosť vôbec ma nenapadlo že substitúcia môže byť $t=\frac{x}{a}\Rightarrow dt=\frac{dx}{a}\Rightarrow adt=dx$ Pomýlila ma substitúcia v integrále $\int_{0}^{v}\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}dv$ kde substitúcia bola $t=1-\frac{v^{2}}{c^{2}}$ ďakujem za vysvetlenie. Ešte dopíšem úvahu, neviem či je správna. Keď sa pozrieme na integrál $\int_{}^{}\text{}\frac{dx}{a\cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}$ tak podľa vzorov $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}=ln[\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}]$ a
$\int_{}^{}\frac{dx}{a}=\frac{x}{a}$ keď za dx vpíšeme 1 tak násobením dostaneme integrál $\int_{}^{}=\frac{x}{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}$ Po integrovaní dostaneme $\ln [\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}]$ Ešte raz ďakujem za vysvetlenie

Ferdish · 15. 01. 2020 14:31

↑ marostul:

Tak jednoduché to IMO nebude, pretože $\ln\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}$ je zložená funkcia a jej derivácia určite nepovedie na jedna lomeno tá odmocnina čo je v logaritme.

Hovoríš že sa odvolávaš na nejaký vzorec - napíš prosím aký.

MichalAld · 15. 01. 2020 16:29

↑ Ferdish:

Je to takto:

$\frac{d}{dt} \ln(x+\sqrt{1+x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Sice to na první pohled nevypadá, ale nakonec to vyjde...

Ferdish · 15. 01. 2020 16:39

↑ MichalAld:
Ja som reagoval na toto

marostul napsal(a):
$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}}=ln[\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}]$

a to určite pravda nie je (však sme mu to tu obaja pracne odvádzali).

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2020 11:28

integrál

#2 09. 01. 2020 13:01 — Editoval Ferdish (09. 01. 2020 13:03)

Re: integrál

#3 09. 01. 2020 14:54

Re: integrál

#4 09. 01. 2020 15:02 — Editoval Ferdish (12. 01. 2020 10:02)

Re: integrál

#5 09. 01. 2020 16:59

Re: integrál

#6 09. 01. 2020 17:43 — Editoval Ferdish (09. 01. 2020 17:44)

Re: integrál

#7 11. 01. 2020 22:49

Re: integrál

#8 12. 01. 2020 10:09

Re: integrál

#9 12. 01. 2020 14:25

Re: integrál

#10 12. 01. 2020 15:16

Re: integrál

#11 12. 01. 2020 15:46 — Editoval Ferdish (12. 01. 2020 15:48)

Re: integrál

#12 12. 01. 2020 17:22 Příspěvek uživatele marostul byl skryt uživatelem marostul. Důvod: zle odvodené vzorce

#13 12. 01. 2020 18:12 Příspěvek uživatele marostul byl skryt uživatelem marostul. Důvod: chybné vzorce

#14 13. 01. 2020 12:28 — Editoval marostul (13. 01. 2020 12:55)

Re: integrál

#15 13. 01. 2020 13:11 — Editoval Ferdish (13. 01. 2020 16:35)

Re: integrál

#16 13. 01. 2020 17:44 — Editoval MichalAld (13. 01. 2020 17:58)

Re: integrál

#17 14. 01. 2020 12:25 — Editoval marostul (14. 01. 2020 14:15)

Re: integrál

#18 14. 01. 2020 13:58 — Editoval Ferdish (14. 01. 2020 13:59)

Re: integrál

marostul napsal(a):

#19 14. 01. 2020 15:13 — Editoval marostul (14. 01. 2020 18:50)

Re: integrál

#20 14. 01. 2020 17:09 — Editoval Ferdish (14. 01. 2020 17:58)

Re: integrál

#21 14. 01. 2020 19:17 — Editoval marostul (15. 01. 2020 14:16)

Re: integrál

Code:

#22 15. 01. 2020 14:31

Re: integrál

#23 15. 01. 2020 16:29

Re: integrál

#24 15. 01. 2020 16:39

Re: integrál

marostul napsal(a):

#25 15. 01. 2020 18:03 — Editoval marostul (17. 01. 2020 11:09) Příspěvek uživatele marostul byl skryt uživatelem marostul. Důvod: nedá sa dopísať

Zápatí