Matematické Fórum

vanok · 23. 11. 2019 00:28 — Editoval vanok (23. 11. 2019 08:58)

Pozdravujem

Najdite vsetki komplexne polynomy $P$ take, ze
$P(X^2)=P(X)P(X+1)$

check_drummer · 23. 11. 2019 08:33

↑ vanok:
AHoj, někde ti tam chybí závorky(a). Nemá to být $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ ?

vanok · 23. 11. 2019 08:59

Ahoj ↑ check_drummer:,
Dakujem, preklep opraveny.

vanok · 24. 11. 2019 20:26

Najprv, mozte konstatovat, ze konstatne polynomy $0$ a $1$ vyhovuju.

check_drummer

Ahoj, zkusím:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 25. 11. 2019 13:58 — Editoval vanok (14. 01. 2020 16:21)

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Polynomy ktore vyhovuju su $0;1$ a aj take ak a je koren polynomu P, tak aj $a^2$ je. Co to znamena?
A mozeme nast aj ine korene?

check_drummer · 25. 11. 2019 15:38

↑ vanok:
Ahoj, aha, ještě je nutno uvažovat kořen s absolutní hodnotou 0, tj. 0. Zamyslím se nad tím.

check_drummer · 25. 11. 2019 20:32

↑ vanok:
Trošku jsem upravil řešení. Taky by se dalo brát že k může být i 0 a pak můžeme polynom 1 vynechat :-)

vanok · 26. 11. 2019 07:07 — Editoval vanok (26. 11. 2019 07:10)

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Mala poznamka.
Len pripomeniem, ze polynom jednej premennej je definovany je formalne definvany na komutativnom okruhu A ako postupnost skoro stale nulova prvkov A. ( podrobnejsie pozri fr. a engl. wikipediu)
A prakticky, treba byt velmi opatrny a netreba miesat “ formalny” polynome (algebricky object) a jeho asociovanu funkciu polynom.
Priklad: polynome $X^2+X$ na $\Bbb Z_2$ nie nulovy, aj ked jeho asociovana funkcia polynom je nulova.
I ked za urcitych okolnosti mozme vyhodne pouzit ich vzajomne vlasnosti.
Napr.
Formalny polynom $X^0$ nie je definovany.

check_drummer · 26. 11. 2019 08:22

↑ vanok:
Ahoj. A je povoleno využít Základní větu algebry?

vanok · 26. 11. 2019 09:49 — Editoval vanok (26. 11. 2019 09:51)

↑ check_drummer: ,
Dobra otazka.
Co je dolezite , je treba vediet kde presne pracujes ( myslim o teoriu v akej pracujes).
Moja poznamka, to je len ti ukazat, ze formalne polynomy; formalne serie ... su uzitocne studovat. A to moze pomoct aj co sa tyka ich asociovanych funkcii a aj opacne. ( algebra a a analyza mozu byt intimne viazane).

Ozaj, studovali ste, ked si bol student do hlbky formalne algebricke objekty?

check_drummer · 26. 11. 2019 17:02

↑ vanok:
Ahoj, algebru jsme měli asi 2 semestry, k tomu asi 2 semestry lineární algebru. Moc do hloubky to nebylo (byl jsem na oboru informatika), něco víc jsem si o tom pak přečetl sám, ale to bylo asi 10 let po škole. :-)
Ale formální algebry mají hodně blízko k logice, je dána nějaká teorie, axiomy, a z nich se odvozují další vlastnosti. Je tam obecně méně prostoru na názornost než třeba v analýze, ale to už je spíš věc názoru a věc konkrétního tématu.

vanok · 26. 11. 2019 21:55

Ahoj ↑ check_drummer:,
To tak celkom nie je, o sa tyka nazornosti. Ale asi na nematematickych smeroch taka algebra sa uci vo velmi minimalnej forme. No urcite je toho dost pre ludi v takych odboroch.
No ty sa snazis ist do hlbky. To preto napredujes.

Pridam tu, len co budem mat cas este jedno riesenie daneho problemu.

vanok · 14. 01. 2020 18:10 — Editoval vanok (16. 01. 2020 04:01)

Dam tu ↑ vanok: riesenie problemu. ( akoze to zatial nikto kompletne neriesil).

Nech a je koren polynomu P.
Akoze, mnozina korenov polynomu P je konecna, tak l‘aplikacia $n \to a^{2n}$ nie je injektivna. Preto existuju dve prirodzene cisla m a n, take, ze $a^{2n}=a^{2m}$ . Ak $m>n$ , tak $a^{2m}(a^{2n-2m}-1)=0$ .
Z toho mame, ze mame alebo a=0 alebo $|a|= 1$ . ( a komplexne cislo).

$(a-1)^2, (a-1)^4, (a-1)^8,...$ su korene P, co vyzaduje $|a-1|=1$ alebo $a=1$ .

Preto jedine mozne korene P su $0, 1, -j, -j^2$ ( skutocne $(|z|=1$ a $|1-z|=1) \Rightarrow ( z=-j$ alebo $z=-j^2)$ . )
Tiez mame $\bar{j}=j^2$ co znamena, ze $-j$ a $-j^2$ maju rovnaju multiilicitu v rozklade P.
Vidime, ze $(X+j)(X+j^2)=X^2-X+1$
Co znamena, ze $P(X)$ je formy $X^{\alpha}(X-1)^{\beta}(X^2-X+1)^{\gamma}$ ( pre vhodne $\alpha , \beta ,\gamma$ , ktore nam ostava upresnit)

vanok · 15. 01. 2020 18:50 — Editoval vanok (15. 01. 2020 18:51)

Tak teraz phrepokladajme, ze
$P(X)=X^{\alpha}(X-1)^{\beta}(X^2-X+1)^{\gamma}$ .
To nam da, $P(X)P(X+1)=X^{\alpha+\beta}(X-1)^{\beta}(X+1)^{\beta}(X^2-X+1)^{\gamma}(X^2+X+1)^{\gamma}$
(Tiez vidime, ze $X^4-X^2+1=(X^2+1)^2-3X^2=...$ ). $P(X^2)= X^{2\alpha}(X-1)^{\beta}(X+1)^{\beta}(X^2-X\sqrt 3+1)^{\gamma} (X^2+X\sqrt 3+1)^{\gamma}$ .
Akoze mame jednoznacnost faktorizacie na irreduktibiline polynomy tak nevyhnutne $\beta=\alpha$ a $\gamma=0$ .

Cize $P(X)=(X^2-X)^{\alpha}$ .