Matematické Fórum

ZedZed · 18. 01. 2020 20:14 — Editoval ZedZed (18. 01. 2020 20:36)

Ahoj,

řeším příklad na únavu a dostal jsem se k následující rovnic, kde musím vyřešit N. Bohužel jsem již vše z matiky zapomněl a nevím, jak tuto rovnici vhodně upravit, abych dostal N na jednu stranu.

$0,0017=\frac{1015}{2*10^5} * (2N) ^{-0,1} + 0,885 * (2N)^{-0,833}$

Díky moc za odpověď.

vlado_bb

↑ ZedZed:Tato rovnica, ako vacsina vsetkych rovnic, sa bude dat vyriesit iba priblizne, niektorou numerickou metodou.

K tomu pribliznemu rieseniu - netusim, ake hodnoty sa daju ocakavat od $N$ , ale ak vacsie ako povedzme $1$ , tak ten posledny clen mozeme v pokoji povazovat za nulovy.

Mimochodom, je mozne, aby student na CVUT zabudol vsetko z matematiky?

ZedZed · 18. 01. 2020 20:43

↑ vlado_bb:

Já vím, že se dá řešit numericky, jen jsem přemýšlel, zda nelze řešit nějakou úpravou s logaritmy, kterou jsem zapomněl. Na numerické řešení není čas, na řešení otázky mám přibližně 7 minut a 5 minut trvá se jen dostat k dané rovnici. Druhý člen se nesmí zanedbat.

vlado_bb

↑ ZedZed: Aha, v exponente je $-0,833$ ... predtym tam bolo $-833$ , to meni situaciu, takze to sa skutocne zanedbat nemoze. Ale numericke riesenie je jedine vychodisko.

ZedZed · 18. 01. 2020 20:49

↑ vlado_bb:
Jo, omlouvám se za chybu. Vypadla mi desetinná čárka. Dobře ,díky.

laszky · 19. 01. 2020 03:56 — Editoval laszky (19. 01. 2020 05:52)

↑ ZedZed:

Ahoj, pokud jde o to, vyresit rovnici alespon priblizne, muzes postupovat napr. takto (v podstate je to Newtonova metoda):

Oznac $x=\frac{1}{2N}$ , $p=\frac{1015}{2\cdot10^5}$ , $q=0.885$ a $r=0.0017$ .

Potom hledas x splnujici rovnici

$px^{0.1}+qx^{0.833}=r$ .

Protoze pro reseni plati $qx^{0.833}<r$ , tj. $x<\left(\frac{r}{q}\right)^{\frac{1}{0.833}}\approx0.000548$ , plati i $x^{0.733}<\left(\frac{r}{q}\right)^{\frac{0.733}{0.833}}\approx0.00407 < 0.00573\approx \frac{p}{q}$ .

Takze $px^{0.1}> qx^{0.833}$ .

Prvni priblizeni $x_0$ je proto reseni rovnice $px^{0.1}=r$ , tedy

$x_0=\left(\frac{r}{p}\right)^{10}\approx1.7788\cdot10^{-5}\;\; \Rightarrow N_0 \approx 28108$

Nasledne budes chtit tuto hodnotu vylepsit prictenim nejake korekce: $x_1 = x_0 + s_0$ , pricemz predpokladas, ze $|s_0|\ll x_0$ .

Dosazenim do puvodni rovnice ziskas:

$p(x_0 + s_0)^{0.1}+q(x_0 + s_0)^{0.833}=r$

$px_0^{0.1}\left(1+\frac{s_0}{x_0}\right)^{0.1} + qx_0^{0.833}\left(1+\frac{s_0}{x_0}\right)^{0.833}=r$

Funkci $(1+z)^{\alpha}$ muzeme pro male hodnoty $|z|$ aproximovat Taylorovym polynomeme jako $1+\alpha z$ , potom

$px_0^{0.1}\left(1+\frac{s_0}{x_0}0.1\right) + qx_0^{0.833}\left(1+\frac{s_0}{x_0}0.833\right)\approx r$

z toho vyjadrime $s_0$ jako

$s_0 = \frac{x_0(r-px_0^{0.1}-q x_0^{0.833})}{0.1px_0^{0.1} + 0.833qx_0^{0.833}} \approx -6.91767\cdot 10^{-6}$ , a proto

$x_1 = x_0 + s_0 = 1.08704\cdot 10^{-5} \;\; \Rightarrow \;\; N_1 \approx 45996$

Pokud chces presnejsi aproximaci, pocitas stejnym zpusobem $x_2=x_1+s_1$ atd.

Pozn.: Od $N_3\approx42587$ se meni jiz jen desetinna cast $N_k$ .

MichalAld

Jinak ty numerické metody nemusejí být nutně úplně složité. Pokud se nám rovnici podaří upravit na tvar $x=f(x)$ a máme štěstí, že to konverguje, tak můžeme přibližné řešení získat prostě tak, že to co vyjde zase dosadíme ... a tak pořád dál, až už se výsledek moc nemění.

tedy:
x0 = něco
x1 = f(x0)
x2 = f(x1)
x3 = f(x2)
atd....

Dá se to v principu udělat i na programovatelné kalkulačce (ty bývaly už i za našich časů).

Zadanou rovnici můžeme do správného tvaru upravit tak, že ji podělíme tím 0.0017 a vynásobíme N, tím dostaneme:

$N = 2.785 N^{0.9} + 592.2 N^{0.167}$

(za správnost samozřejmě neručím ... a jak je tam to (2N)^... tak ta dvojka se dá ještě zahrnout do té konstatny před tím)

Já jsem si nedávno oblíbil jazyk Python, v něm se ty matematické počty dají psát celkem snadno ... navíc, interprety základního Pythonu existují i online. Program pro iterování je asi na 3 řádky:

Code:

y = 1 #pocatecni hodnota
for i in range(1,1000): #pocet iteraci
  y = 2.785 * y**0.9  +  592.2 * y ** 0.167  
  print(y)

Po nějakých 50 iteracích dostaneme výsledek 55535.8 (což už je platné na 3 číslice),
po 100 iteracích 55592.3, což už je platné až po desetinou čárku,
po 250 iteracích dostáváme 55592.29561635907, a to už se dále nemění.

MichalAld · 19. 01. 2020 13:19

Mnou uvedený výsledek není úplně správný, protože jsem si trochu zaokrouhlil ty hodnoty...takže po dosazení do původní rovnice to dává jen 0.00164 namísto 0.0017.

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2020 20:14 — Editoval ZedZed (18. 01. 2020 20:36)

Vyřešení neznámé

#2 18. 01. 2020 20:19 — Editoval vlado_bb (18. 01. 2020 20:24)

Re: Vyřešení neznámé

#3 18. 01. 2020 20:43

Re: Vyřešení neznámé

#4 18. 01. 2020 20:47 — Editoval vlado_bb (18. 01. 2020 20:47)

Re: Vyřešení neznámé

#5 18. 01. 2020 20:49

Re: Vyřešení neznámé

#6 19. 01. 2020 03:56 — Editoval laszky (19. 01. 2020 05:52)

Re: Vyřešení neznámé

#7 19. 01. 2020 13:13 — Editoval MichalAld (19. 01. 2020 13:22)

Re: Vyřešení neznámé

Code:

#8 19. 01. 2020 13:19

Re: Vyřešení neznámé

Zápatí