Matematické Fórum

check_drummer · 20. 01. 2020 19:32

Ahoj,
nechť každý mřížový bod roviny (tj. bod s celočíselnými souřadnicemi) má s pravděpodobností 1/2 bílou barvu (a v opačném případě černou). Jaká je pravděpodobnost, že existuje "svislý" sloupec (tj. $\{[i,j], j \in \mathbb{Z}\}$ pro nějaké celé i), jehož prvky mají jednu barvu?
Pokud je tato pravděpodobnost 0, jak tomu bude v případě, že budeme uvažovat nikoli celočíselné souřadnice, ale reálné?

MichalAld · 20. 01. 2020 20:55

Pro celá čísla by to mohla být limita

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{1}{2})^n=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n}=0$

Ovšem to je jen speciální případ dvourozměrné limity

$\lim_{m, n \to \infty} \frac{m}{2^n}$

a ta nejspíš neexistuje.

Pro reálná čísla mi tak úplně není jasné, kterých bodů by se to týkalo. Pokud i počtu ve sloupci, tak je to asi stejný problém jako s celými čísly.

Pokud by počet puntíků ve sloupci byl spočetný zatímco množina sloupců měla mohutnost kontinua, tak by tam takový, co má všechny stejné existovat měl a né jen jeden ... bych intuitivně řekl, ale nějak to provést matematicky, to teda netuším jak. Jen čístě intuitivně - množina všech možných kombinací puntíků má mohutnost 2^n což pořád odpovídá mohutnosti celočíselné množiny ... což je pořád "mnohem méně" než kolik je sloupců (v množině mohutnosti kontinua).

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2020 19:32

Nekonečný jednobarevný sloupec

#2 20. 01. 2020 20:55

Re: Nekonečný jednobarevný sloupec

Zápatí