Matematické Fórum

ZnBrok · 19. 10. 2019 15:39

Zdravím chtěl bych se zeptat jak pokračovat v tomto příkladu (dost možná to mám špatně) jde o tyč které po zdi klouže rychlostí Va a máme zjistit rychlost druhého konce Vb známe úhel fí a délku tyče l
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/92216_ty%25C4%258D.jpg
Máme to řešit pomocí věty o průmětech rychlosti
předem díky za pomoc

Jj · 19. 10. 2019 17:16

↑ ZnBrok:

Zdravím.

Větu o průmětech rychlostí jsem buď nikdy neznal, nebo jsem na ni zapomněl. Na netu jsem našel, že při rovinném pohybu jsou si průměty rychlostí dvou bodů tělesa na jejich spojnici rovny.

Podle toho a náčrtku v dotazu by myslím mělo platit:

$V_A\sin \varphi = V_B\cos \varphi\Rightarrow V_B = \cdots$

(Aspoň doufám.}

Jj · 19. 10. 2019 17:25

Jj, je to tak - tady je příklad podle dotazu i s řešením:

Odkaz

ZnBrok · 19. 10. 2019 18:12

↑ Jj: Ale proč tomu tak je pořád nechápu

Jj · 19. 10. 2019 21:17

↑ ZnBrok:

No, k tomu já už nic bližšího neřeknu - prodal jsem, jak jsem koupil bez toho, abych se tím zvlášť zabýval.

Kejk · 09. 01. 2020 14:26 — Editoval Kejk (09. 01. 2020 14:27)

Zdravím, tímto způsobem se příklad počítá následovně:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/76290_IMG_20200109_141809-min.jpg

MichalAld · 09. 01. 2020 15:26

Když by mi někdo dokázal vysvětlit, co ten příklad vlastně fyzikálně představuje ("tyč klouže po zdi"), možná bych něco vymyslel.

Možná to souvisí s tím, že volně padající těleso se otáčí kolem svého těžiště...

edison · 09. 01. 2020 15:57

Tyč někdo špatně opřel a ona začala klouzat dolů.

Ferdish

↑ MichalAld:
Asi to bude ekvivalent tzv. problému padajúceho rebríka, akurát že v tomto prípade sa bod dotyku rebríka (teda tyče) s kolmou stenou pohybuje rovnomerne a nie zrýchlene...

MichalAld · 09. 01. 2020 22:13

Aha, už to chápu.

No podle mě přímočarý výpočet je následující:

$v_b = \frac{db}{dt} = \frac{db}{da}\frac{da}{dt}=\frac{db}{da}v_a$

Strany a, b tvoří pravoúhlý trojúhelník, tudíž jsou svázány přes pythagorovu větu,

$a^2 + b^2 = L^2$

$b = \sqrt{L^2 - a^2} = (L^2 - a^2)^{\frac{1}{2}}$

Když to zderivujeme, dostaneme

$\frac{db}{da} = \frac{1}{2} (L^2 - a^2)^{-\frac{1}{2}}(-2a)=-\frac{a}{\sqrt{L^2-a^2}}=-\frac{a}{b}=-tg \varphi$

Tedy

$v_b = - \tan(\varphi) v_a$

To záporné znaménko znamená, že rychlost je "opačná vzhledem k délce", tedy že když se strana a zkracuje, bude se strana b prodlužovat.

Pokud se to ovšem má počítat bez derivování, musí se to hacknout nějak jinak (a to já teda nevím jak).

Schlpooka · 11. 01. 2020 22:44

Pokud bych na to šel pouze matematicky a bral to jako pravoúhlý trojúheník tak platí pythagorova věta.
$a^{2}+b^{2}=l^{2}$
Pokud bych stranu a prodloužil o x, tak platí
$(a+x)^{2}= a^{2}+2ax+x^{2}$
Strana b^2 se tedy zkrátí o $2ax + x^{2}$
Pak to stačí jen všechno vydělit časem, takže nám vyjde rychlost.
Bohužel to učitel asi neuzná, protože bude chtít to fyzikální řešení, ale hold jsem matenatik a ne fyzik

MichalAld

↑ Schlpooka:

To co píšeš trochu nedává smysl. Pokud stranu a prodloužíme o x, strana b se prodlouží o y. A dle pythagorovy věty by platilo:

$b + y = \sqrt{L^2 - (a+x)^2} = \sqrt{L^2 - a^2 -2ax - x^2} = \sqrt{b^2 - 2ax - x^2}$

To je pořád dost složitý výraz na to, abychom podle něj přepočítávali rychlost.

Pokud ovšem využijeme toho, že x i y jsou velmi malá čísla, tak můžeme ten člen $x^2$ zanedbat, čímž dostaneme

$b+y = \sqrt{b^2 - 2ax} = b\sqrt{1-2\frac{a}{b^2}x}$

což už je sice lepší, ale stále dost složité. Pokud znovu využijeme toho, že x je velmi malé, takže i mnohem menší než $b^2$ , můžeme odmocninu nahradit vztahem

$\sqrt{1-x} \doteq 1 - \frac{1}{2}x$

Takže dostaneme

$b + y = b(1-\frac{a}{b^2}x) = b - \frac{a}{b}x$

Když odstraníme b máme
$y = -\frac{a}{b}x$
$y = -\tan(\varphi)x$

Tohle už stačí podělit příslušným časem a máme rychlosti. Vztah samozřejmě platí, pokud jsou x a y velmi malá čísla - ideálně nekonečně malá.

Schlpooka · 12. 01. 2020 09:53

↑ MichalAld:
Díky za doplnění a opravení, tam kde začínáš, jsem skončil.
Jenom si nejsem jistý, jestli tam nemá být
$b-y$
protože jsem to pochopil tak, že dolní odvěsna se prodlouží a ta boční se zkrátí. Ne, že se obě prodlouží.

MichalAld

↑ Schlpooka:
No jo, se znaménky je vždycky problém.

Pokud předpokládáme, že když se strana a prodlouží o x, tak strana b se prodlouží o y, vyjde nám výsledek se záporným znaménkem (což se také stalo).

Pokud bychom už na začátku předpokládali, že když se strana a prodlouží tak b se zkrátí, dostali bychom výsledek kladný. Akorát nesmíme zapomenout, že jsme si to takto nadefinovali, což je podle mě ještě horší. Navíc to v obecném případě nemůžeme vědět, kterým směrem se to bude pohybovat (i když tady je to na první pohled jasné).

Pokud by vztah mezi dvěma polohami (a, b) byl popsán nějakým polynomem typu

$b =2a^3-a^2-5a+1$

těžko se nám bude dopředu odhadovat, jestli se při zvětšení a to b zvětší nebo zmenší. Ve skutečnosti to závisí na hodnotě toho a, jak je nakonec vidět i z grafu (kde to klesá, tam se bude b zmenšovat).

ZnBrok · 20. 01. 2020 14:30

Kdyz uz se to tu tak pekne rozjelo mohl by nekdo zakreslit do toho obrazku uhlove zrychleni a uhlovou rychlost ? Protoze z obrazku z textu mi to prijde divne
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/27027_Screenshot_20200120-142957.png

MichalAld · 20. 01. 2020 19:14

Oboj (úhlová rychlost i úhlové zrychlení) je kolmé na rovinu obrázku.

Pokud ti to přijde divné, tak věz, že obojí (u úhlové rychlosti je to asi více zřejmé) jsou tzv. axiální vektory, které byly uměle vytvořeny vektorovým součinem dvou jiných vektorů - a do důsledku vzato nemají přímý fyzikáln význam (tj. jejich hodnotu není možné přímo stanovit nějakým měřením, experimentem).

Ve 3D situacích jsou prostě kolmé na rovinu, v níž probíhá rotace.

Ve 2D případech je vlastně ani nepovažujeme za vektory (v rovině ani nelze zkonstruovat vektor kolmý na dva jiné). V rovině je to takový pseudo-skalár (možná i normální skalár, to já přesně nevím) - musí mít ovšem polaritu, protože věci se mohou točit "doleva" nebo "doprava".

MichalAld · 20. 01. 2020 19:15

Možná by nebylo od věci, kdyby jsi sem hodil ten obrázek celý (i s texty kolem).

pietro · 21. 01. 2020 08:34

↑ ZnBrok: ahoj, možno tyč už dávno dopadla, ale niečo podobné nájdeš aj tu a prispôsobíš vhodne.

http://reseneulohy.cz/1031/klouzani-tyce

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2019 15:39

věta o průmětech rychlosti

#2 19. 10. 2019 17:16

Re: věta o průmětech rychlosti

#3 19. 10. 2019 17:25

Re: věta o průmětech rychlosti

#4 19. 10. 2019 17:41 Příspěvek uživatele David123xz byl skryt uživatelem David123xz. Důvod: Fgt

#5 19. 10. 2019 18:12

Re: věta o průmětech rychlosti

#6 19. 10. 2019 21:17

Re: věta o průmětech rychlosti

#7 09. 01. 2020 14:26 — Editoval Kejk (09. 01. 2020 14:27)

Re: věta o průmětech rychlosti

#8 09. 01. 2020 15:26

Re: věta o průmětech rychlosti

#9 09. 01. 2020 15:57

Re: věta o průmětech rychlosti

#10 09. 01. 2020 16:12 — Editoval Ferdish (09. 01. 2020 16:13)

Re: věta o průmětech rychlosti

#11 09. 01. 2020 22:13

Re: věta o průmětech rychlosti

#12 11. 01. 2020 22:44

Re: věta o průmětech rychlosti

#13 11. 01. 2020 23:21 — Editoval MichalAld (11. 01. 2020 23:24)

Re: věta o průmětech rychlosti

#14 12. 01. 2020 09:53

Re: věta o průmětech rychlosti

#15 12. 01. 2020 12:54 — Editoval MichalAld (12. 01. 2020 12:55)

Re: věta o průmětech rychlosti

#16 20. 01. 2020 14:30

Re: věta o průmětech rychlosti

#17 20. 01. 2020 19:14

Re: věta o průmětech rychlosti

#18 20. 01. 2020 19:15

Re: věta o průmětech rychlosti

#19 21. 01. 2020 08:34

Re: věta o průmětech rychlosti

Zápatí