Matematické Fórum

surovec · 21. 01. 2020 14:01

↑↑ Ferdish:
Promiň, mluvíš o něčem úplně jiném. Já jsem kritizoval ten hybrid, ne rekurentní zadání. A u rekuretního zadání fakt nemusíš počítat všechny členy, pokud znáš ten předchozí.
Na výpočet n-tého členu není rekurentní vyjádření určeno, k tomu je vzorec pro n-tý člen.

surovec · 21. 01. 2020 14:05

↑↑ jarrro:
A k čemu je tedy hybridní vyjádření dobré? Nemá výhody ani rekuretního vyjádření, ani vzorce pro n-tý člen. Jediné, kde bych to toleroval, jsou ty případy, kdy základní vyjádření nelze provést.

surovec · 21. 01. 2020 14:08

↑↑ misaH:
Bez urážky (vidím, že jsi lehce v afektu), ale pojmu rekurentní vyjádření není jasné spíš tobě. Přečti si ten výřez a promysli si ho.
Rekurentní vyjádření neobsahuje samotné n, nýbrž předchozí členy.
Vzorec pro n-tý člen neobsahuje předchozí členy, nýbrž n.
Hybrid obsahuje obojí.

jarrro · 21. 01. 2020 14:36 — Editoval jarrro (21. 01. 2020 14:37)

↑ surovec:kde je v texte na obrázku od↑↑ misaH: napísané, že predpis nemôže závisieť od indexu?
A ako by si postupoval pri úlohe
"Nech $$a_n$_{n=1}^{\infty}$ je postupnosť daná rekurentne predpisom
$a_1=1,a_{n+1}=\left|a_n\sin{$a_n$}\log{$\left|\cos{\(2\sqrt{a_n}$}\right|\)}\right|$
Určte 12345678910. člen tejto postupnosti." ?

surovec · 21. 01. 2020 16:46

↑ jarrro:
To myslíš vážně??? To už si snad děláš srandu? Tak znova: to, co jsi napsal, je rekurentní vyjádření. Rekurentní vyjádření slouží k dopočítání členu POMOCÍ PŘEDCHOZÍCH ČLENŮ, nikoliv pro dopočítání členu s konkrétním indexem!!!
Na dopočítání členu s konkrétním indexem slouží vzorec pro n-tý člen!
Navíc vůbec nechápu, jakou to má souvislost se zde řešeným názorovým rozporem, že vzorec obsahující zároveň $n$ i předchozí členy není rekurentním vyjádřením...

vlado_bb · 21. 01. 2020 16:58

Myslim, ze ↑ surovec: chce povedat asi tolko, ze rekurentna formula v tvare $a_{n+1}=\varphi(a_n)$ je niekedy vyhodnejsia ako rekurentna formula v tvare $a_{n+1}=\varphi(n, a_n)$ . V tom ma pravdu. On by zasa mohol vziat na vedomie, ze jedno aj druhe JE rekurentna formula.

misaH · 21. 01. 2020 17:02

↑ vlado_bb:

Tak, tak...

surovec · 21. 01. 2020 17:14

↑ vlado_bb:
Ne, to jsem nechtěl říct. Chtěl jsem říct, že formule typu $a_{n+1}=\varphi (n,a_n)$ je prakticky k ničemu. A zároveň trvám na tom, že pokud je tam n, tak už to není rekurentní, protože z předchozích členů pomocí ní nespočítám nic, pokud nebudu zároveň vědět, kolikátý člen to je.
Pokud je hybrid k něčemu dobrý (jednoznačně lepší než existující "striktně rekurentní" vyjádření či vzorec pro n-tý člen), uveď takový příklad a mně nebude dělat problém přiznat, že jsem se v této věci pletl.
Mimochodem, ještě k "hybridnímu" příkladu, který jsem uvedl $a_{n+1}=a_n+2n+1,\,a_1=2$ . Rekurentní vyjádření je $a_{n+1}=a_n+2\sqrt{a_n-1}+1,\,a_1=2$ a vzorec pro n-tý člen je prostě $a_{n+1}=n^2+1$ . Pomocí nich úlohy a) i b) vypočítám snadno, hybridem nespočítám nic...

misaH · 21. 01. 2020 17:19

↑ surovec:

Ako že "hybridom" nespočítaš nic?

Nedokážeš vyrátať napríklad $a_2$ ?

To naozaj?

Ferdish

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT (k téme, po prečítaní ↑ surovec:): Aritmetická postupnosť (AP) a geometrická postupnosť (GP) sú tiež postupnosti s rekurentným predpisom: nejaký člen je vyjadrený pomocou iného, a nemusí to byť nutne ten predošlý, ale ktorýkoľvek iný.

U AP však nestačí poznať iba ten "iný člen", musí sa k nemu niečo pripočítať, a síce vhodný násobok tzv. diferencie $d$ ktorá určuje rozdiel medzi ľubovoľnými dvoma susednými členmi AP.
Ako veľký násobok to bude, závisí od rozdielu indexov člena ktorý hľadáme (nazvem $a_n$ ) a "iného" člena ktorého pri výpočte používame ( $a_k$ ), teda na veľkosti $n-k$ .
Zároveň nutnou podmienkou je, aby sme poznali hodnotu aspoň jedného člena hľadanej AP (nie nutne $a_k$ ) Takže vo všeobecnosti pre $n$ -tý člen AP platí

$a_n=a_k+(n-k)d;\,k,n\in \mathbb{N}$

a ako vidíme, neplatí striktne $a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ ale $a_{n}=\varphi(a_k,(n-k),d)$ .

Obdobne u GP, tam sa však k tomu "inému členu" nič nepripočítava, ale dochádza k jeho násobeniu vhodnou mocninou tzv. kvocientu $q$ , ktorý určuje pomer dvoch za sebou idúcich členov GP (člen s vyšším indexom v čitateli). A znova mocnina závisí na indexoch hľadaného člena a "iného člena" a znova musíme poznať hodnotu aspoň jedného člena GP. Využijem označenie z predošlého odstavca a môžem písať, že pre $n$ -tý člen GP platí

$a_n=a_kq^{n-k};\,k,n\in \mathbb{N}$

takže ani tu striktne neplatí $a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ ale $a_{n}=\varphi(a_k,(n-k),q)$ .

Alebo asi jeden z najznámejších príkladov rekurentne zadanej postupnosti - Fibonacciho postupnosť.
Členy tejto postupnosti sú dané súčtom hodnôt dvoch predchádzajúcich členov, pričom prvé dva členy postupnosti $a_1=a_2=1$ . Takže pre členy Fibonacciho postupnosti máme

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2};\,n\in \mathbb{N},n\ge 3$

takže ani tu nemáme $a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ ale pre zmenu $a_{n}=\varphi(a_{n-1},a_{n-2})$ . A toto skrátka nemôžeš poprieť...

misaH · 21. 01. 2020 20:12 — Editoval misaH (21. 01. 2020 20:13)

↑ Ferdish:

Ahoj - škoda času. Trvá na tom...

Z hnusného hybridu nespočíta (nevyráta) nič, čo už teda - komu niet rady, tomu niet pomoci...

Ferdish

↑ moab:
Ja som nepopieral Teba resp. Tvoje tvrdenie, ale surovcovo.

misaH · 22. 01. 2020 06:38

↑ moab:

Absolútne mimo :-D

Využitie poradového čísla člena neodporuje definícii rekurentného predpisu.

Nemožnosť použitia na výpočty, ktorú zadávateľ deklaruje je hlúposť, nič také neplatí...

jarrro · 22. 01. 2020 07:36 — Editoval jarrro (22. 01. 2020 07:45)

Zase je pravda, že úloha typu nejaký člen má hodnotu $a$ určte nasledujúci je pri "hybride" najrýchlejšie riešiteľná (snáď) vyriešením diferenčnej rovnice a zistením indexu.
Len by som bol zvedavý kde sa vyskytuje znalosť člena bez znalosti jeho indexu (pri riešení seriózneho matematického/fyzikálneho problému alebo priamo v praxi teda nie umelo vytvorené úlohy typu ↑↑ surovec:).
Netvrdím, že taký prípad nemôže nastať.
Mimochodom z autonómnej (rekurencia nezávisí na indexe) diferenčnej rovnice vypočítaš člen z daným indexom aj bez riešenia rekurzie (proste budeš dostatočne dlho dosadzovať)(tak tisto ako aj pri neautonómnej )

moab · 22. 01. 2020 09:12

↑ Ferdish:
Aha, tak to se omlouvám, už se tady v tom člověk ztrácí...

Ferdish · 22. 01. 2020 11:22

↑ moab:
Nevadí, stane sa :-)

vanok · 22. 01. 2020 11:31

Pozdravujem,
Poznamka.
Pochopitelne toto cvicenie ma viacej ciest k rieseniu. Co je pripad situacii, ktore nevedu k linearnym recurenciam.
Pre zabavu, mozme vyhodne pouzit, ze dana relacia sa da vyjadrit vdaka trojuholnikovim cislam, ktore su « dokladne » studovane ( cf Fermat, Gauss).

check_drummer · 22. 01. 2020 17:51

surovec napsal(a):
↑↑ jarrro:
A k čemu je tedy hybridní vyjádření dobré? Nemá výhody ani rekuretního vyjádření, ani vzorce pro n-tý člen. Jediné, kde bych to toleroval, jsou ty případy, kdy základní vyjádření nelze provést.

Ahoj. Vyskytuje-li se ve vyjádření i index n, pak se takové vyjádření standardně řadí mezi rekurentně zadané posloupnosti.
K čemu může být dobré? K mnoha věcem - např. proto, že explicitní vyjádření i "čistě" rekurentní
mohou být dány příliš složitými vzorci, a tedy to, které využívá předchozí člen i index n, může být dostatečně jednoduché. Nebo sice nemusí být takové vyjádření jednoduché, ale může být snadnější s ním analyticky pracovat, odvodit pomocí něj nějaké vhodné vlastností té posloupnosti, apod.
Každopádně odsuzovat takové vyjádření apriori není znakem matematické kreativity a otevřenosti.

Matematické Fórum

#26 21. 01. 2020 14:01

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#27 21. 01. 2020 14:05

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#28 21. 01. 2020 14:08

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#29 21. 01. 2020 14:36 — Editoval jarrro (21. 01. 2020 14:37)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#30 21. 01. 2020 16:46

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#31 21. 01. 2020 16:58

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#32 21. 01. 2020 17:02

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#33 21. 01. 2020 17:14

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#34 21. 01. 2020 17:19

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#35 21. 01. 2020 17:33 — Editoval Ferdish (21. 01. 2020 18:13)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#36 21. 01. 2020 20:12 — Editoval misaH (21. 01. 2020 20:13)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#37 22. 01. 2020 00:04 Příspěvek uživatele moab byl skryt uživatelem moab. Důvod: Mylná reakce...

#38 22. 01. 2020 01:53 — Editoval Ferdish (22. 01. 2020 01:57)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#39 22. 01. 2020 06:38

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#40 22. 01. 2020 07:36 — Editoval jarrro (22. 01. 2020 07:45)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#41 22. 01. 2020 09:12

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#42 22. 01. 2020 11:22

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#43 22. 01. 2020 11:31

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#44 22. 01. 2020 17:51

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

surovec napsal(a):

Zápatí