Matematické Fórum

ShadyDrob_cz

Ahoj / Dobrý den,

prosím o pomoc s následující úlohou - nastínění postupu (vypomáhám přítelkyni, a jde toto trochu mimo mne):

Nuklid ${^{137}_{55}C_s}$ se používá jako externí zdroj $\gamma$ -záření pro měření tloušťky materiálů. Jaho poločas rozpadu je 33 let.
a) Jaká bude aktivita 0,1kg tohoto nuklidu, je-li jeho relativní atomová hmotnost 133?
b) Za jak dlouho se rozpadne 85% radioaktivních jader?
c) Kolik protonů a neutronů bude mít dceřiné jádro, rozpadá-li se ${^{137}_{55}C_s}$ rozpadem $\beta^-$ ?

Děkuji

Ferdish

Zdravím,

toto je skôr úloha fyzikálna než chemická, ale to len tak na okraj. Inak správne označenie tohto nuklidu je ${^{137}_{55}Cs}$ .

a) Aktivita žiariča je daná vzťahom $A=\lambda N$ , kde $\lambda$ je rozpadová konštanta a $N$ počet nerozpadnutých jadier atómov žiariča.
Aktivita aj počet nerozpadnutých jadier sú časovo závislé veličiny, čo sa prejaví v ďalšej úlohe. Na základe zadaných hodnôt by tvoja priateľka mala vedieť vypočítať resp. dosadiť za $\lambda$ aj $N$ .

b) Podľa rozpadového zákona je počet nerozpadnutých jadier $N(t)$ v čase $t$ rovný

$N(t)=N(0)\mathrm{e}^{-\lambda t}$

kde $N(0)$ je počet nerozpadnutých jadier na začiatku procesu v čase $t=0$ (viď úloha a) ).

c) Pri $\beta ^{-}$ rozpade sa jeden neutrón z jadra premieňa na protón, pričom je emitovaný elektrón a elektrónové antineutríno. Aj bez rovnice, len na základe tohto slovného popisu by malo byť zrejmé, ako sa zmení počet neutrónov a protónov v jadre.

Stačí tak?

ShadyDrob_cz · 09. 01. 2020 19:06

↑ Ferdish:

Děkuji za nápovědu. Tedy, jestli tomu správně rozumím:

a) spočtu si:
$N=\frac{m\times N_A}{M_m}$ , kde $M_m=A_r\times10^{-3}=133\times10^{-3}$ , tedy $N=\frac{6.022\times10^{23}\times0.1}{133\times10^{-3}}\doteq 4.527\times10^{23}$
$\lambda = \frac{ln2}{T_{\frac{1}{2}}}\doteq \frac{0.693}{1040688\times 10^3s}\doteq 6.65\times 10^{-10}$
$A=\lambda \times N = 6.65\times 10^{-10} \times 4.527\times 10^{23}\doteq 30.104\times 10^{13}$

b) je 85% rozpadlých jader, tedy v čase t, zbude $0.15N_0$ jader tedy $N(t)=0.15N_0$ , pak:
$0.15N_0=N_0\times e^{-\lambda \times t}$
$\ln0.15=-\lambda \times t\times\ln e$
$\ln0.15=-\lambda \times t$
$t=\frac{\ln 0.15}{-\lambda}\doteq \frac{-1.897}{6.65\times 10^{-10}}=0.285\times 10^{10}s$

c) Zde si nejsem moc jistý jak to aplikovat:
protonů Z = 55
neutronů $N=A-Z=137-55=82$

Dál si nejsem jistý co s tím.

Mnohokrát děkuji.

Ferdish

a) Ten počet častíc $N$ by som počítal jednoduchšie, ako $N=\frac{m}{m_{Cs}}$ , kde $m$ je hmotnosť vzorky nuklidu a $m_{Cs}$ je hmotnosť jedného atómu nuklidu cézia, ktorú si vyjadrím ako $A_r$ -násobok atómovej hmotnostnej konštanty. Počet častíc a aj aktivita mi však vyšli rovnako ako tebe (až na nepatrné odchýlky v dôsledku zaokruhľovania), takže ak sme sa obaja nedopustili rovnakej chyby, výsledok by mal byť dobre.

b) Pozor - v poslednom vzťahu musí byť rozpadová konštanta $\lambda$ dosadená do menovateľa aj so znamienkom mínus! Ak by si ho vynechal, čas by ti vyšiel záporný.

c) Počet neutrónov materského jadra si určil dobre. A teraz si stačí uvedomiť, že $\beta$ rozpad zachováva celkový počet nukleónov v jadre: v našom prípade sa neutrón zmenil na protón a emitoval elektrón von z jadra spolu s antineutrínom. Analogicky pri beta+ sa protón zmení na neutrón, pričom emituje pozitrón a neutríno. Takže z hľadiska celkového počtu nukleónov v jadre sa ich počet nemení, len sa jeden nukleón premení na iný.

PS.: Do detailov o mechanizmoch beta+ a beta- rozpadu nezachádzam, keďže hovoríš že si len sprostredkovateľom úlohy od svojej priateľky, ktorá to práve zrejme preberá.

ShadyDrob_cz · 22. 01. 2020 20:15

↑ Ferdish:

Děkuji za odpověď, a omlouvám se za prodlevu.

K tomu c) jestli správně rozumím, dojde tedy k přeměně 85% neutronů na protony, tedy neutronů bude $N=N-0.85\cdot N\doteq 82-70=12$ a protonů $Z=Z+0.85\cdot N\doteq 55+70=125$

Ferdish · 22. 01. 2020 20:24

↑ ShadyDrob_cz:
Nie nie nie, ten údaj 85% rozpadnutých jadier je relevantný iba čisto pre úlohu b). Úloha c) pojednáva iba o počte prtotónov a neutrónov JEDNÉHO jadra ${^{137}_{55}C_s}$ , ktoré podstúpi premenu cez $\beta ^{-}$ rozpad.

https://sk.wikipedia.org/wiki/Beta_rozpad

ShadyDrob_cz · 22. 01. 2020 20:30

↑ Ferdish:
Rozumím, pro ověření, neutronů bude tedy $N=82-1=81$ a protonů $Z=55+1=56$

Ferdish · 24. 01. 2020 16:37

↑ ShadyDrob_cz:
Správne...mimochodom, čo a kde tvoja priateľka vlastne študuje, ak sa môžem opýtať?

ShadyDrob_cz · 01. 02. 2020 16:47

↑ Ferdish:

Děkuji moc. Studuje na Jihočeské univerzitě v ČB na Zdravotně sociální fakultě.

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2020 10:21 — Editoval ShadyDrob_cz (09. 01. 2020 11:42)

Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#2 09. 01. 2020 11:31 — Editoval Ferdish (09. 01. 2020 11:33)

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#3 09. 01. 2020 19:06

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#4 10. 01. 2020 22:39 — Editoval Ferdish (10. 01. 2020 22:41)

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#5 22. 01. 2020 20:15

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#6 22. 01. 2020 20:24

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#7 22. 01. 2020 20:30

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#8 24. 01. 2020 16:37

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

#9 01. 02. 2020 16:47

Re: Aktivita, rozpad a počet protonů a neutronů nuklidu

Zápatí