Matematické Fórum

Zvedavec 4 napsal(a):

A zrejme tedy by to melo platit zaroven o rychlosti svetla. A proto me staci dost ilustrativni intuitivni uvaha, ze by svetelny paprsek vyslany spolu s raketou letici rychlosti v=0.8c ji mel predebihat, snad, o [km] a ne o 0.2c[km]! Mozna i tohle neni dobre a musi se to jeste pocitat jinak, to nevim. Vypada to cely vic a vic slozitejsi.

Jen na upresnenou abych nekoho nesplet, s touhle uvahou jsem prisel podle toho, jak tomuhle problemu rozumim a tedy neni vzata od nikud, takze nemusi byt spravne.

Jeste jedna uvaha na tohle tema by mohla byt, ze:

Co znamena (intuitivne) to, ze ve jmenovateli dilciho vysledku vzorecku pro kontrakci se objevi , tedy nematematykovi intuitivne nic nerikajici rozdil ctvercu?


Co si pod tim predstavit je to, ze to je vysledkem (c-v)(c+v), tedy obdelniku, jehoz strany jsou (c-v) a (c+v). Tak jako prumer z a+b je (a+b)/2 a prumer z (c+v)+(c-v) je [(c+v)+(c-v)]/2=2c/2=c tak podobne, jak to vypada, by prumer z melo byt .


To tedy znamena, ze je to same, jako . To vysledne "a" je tedy nejenom uhlu alfa protilehla odvesna pravouhleho trojuhelnika znazornujiciho rychlost letu soustavy "v pohybu" oproti rychlosti svetla "c", tedy pohyb casoprostorem v porovnani s pohybem cistym prostorem, kde to "a" je vzdalenosti vychyvu cistym casem, ale taky prumerna delka strany toho obdelnika (c-v)(c+v), protoze prumerna delka ze dvou nerovnych stran obdelnika se stava stranou ctverce se stejnou plochou.


A i proto by se zdalo, ze pohyb toho fotonu co meri delku toho projizdejiciho vagonu tedy bude totozny s plynutim casu, kdyz je videt, ze jelikoz ten foton uleti na sve celkove trase tam a zpet prumernou vzdalenost "a" a nasledovne ta soustava "v pohybu", ve ktere se pohybuje, se tim take premisti o to stejne "a" casem.


Protoze to je foton, tedy svetelny paprsek, co se premistuje nejdrive po strane (c-v) a potom po strane (c+v), a protoze prumerna delka teto jeho slozene trasy bude prave to "a" a tohle "a" je taky vysledkem , tedy rozdilu ctvercu nad stranami pravouhleho trojuhelnika, kde tohle "a" znaci o kolik se soustava "v pohybu" prostorem vychyli v case oproti soustave "v klidu", zdalo by se to potvrzovat domnenku, jestli se tady nejak hrozne nepletu, ze pohyb fotonu se rovna plynuti casu.

MichalAld napsal(a):

Pokud chceme opravdu pochopit relativistickou fyziku, musíme používat čtyřvektory. Jinak to v podstatě nedává smysl.


Takže …. namísto rychlosti máme čtyřrychlost (která krom rychlostí ve směru os x,y,z má i složku rychlosti "ve směru času" - a navíc má tu vlastnost, že při rotacích v časoprostoru nemění velikost, stejně jako obyčejná rychlost nemění svoji velikost při rotacích v prostoru).


Čtyřrychlosti lze normálně sčítat, narozdíl od obyčejných rychlostí.


...ale v aparátu teorie relavitivy je to čistě geometrická věc. Tak jako můžeš u 3D vektoru mluvit o úhlech vzhledem k jednotlivým osám, tak ve čtyřprostoru jsou rychlosti jen "úhly" k časové ose.

Takovymhle komplikovanostem se snazim vyhnout tim, ze se na to snazim jit ciste intuitivne, i kdyz vidim, ze to bez alespon nejakych vypoctu asi uplne nejde.


Vypada to tedy jako bys rikal, ze protoze ve vsech vzoreckach STR se pouziva gama, ktera tu casovou slozku do vypoctu dosazuje, tak proto se v ramci toho i ruzny rychlosti v STR daji primo scitat, protoze i ve vypoctech s temi rychlostmi oznacenymi "v", tim, ze se dosazuji do  vypoctu STR, je uz ta gama, a tedy casovy posuv, obsazena. A ten ctvrty vektor vlastne tu gamu zahrnuje. A protoze jsou pri casoprostorovych rotacich nemenne, tedy jakoby absolutni, secist se primo muzou, protoze jsou "stejneho druhu".

MichalAld napsal(a):

Když si z toho pak pokusíš vyjádřit jen tu prostorovou část čtyřvektoru, dostaneš to, co asi znáš jako "vzorec pro relativistické sčítání rychlostí". Je docela složitý - a je docela složité ho i odvodit - ale jen proto, že ve čtyřrozměrné geometrii nemá samotná rychlost vlastně co dělat.


Má to jediný háček - ve 3D prostoru platí, že vzdálenost dvou bodů je (jak už objevil Pythagoras)



Zatímco ve čtyřprostoru má časová složka záporné znaménko.

Ale pokud by se chtela spocitat rychlost telesa bez zapocitani jeho casoveho posuvu, a nejak propasovat do vypoctu STR, pak by byl problem, protoze pohyb prostorem samotnym pro hmotne teleso vlastne neexistuje a proto by se takhle neuplne spocitane rychlosti musely dal nasobit nejakym pridanym faktorem, ktery zrejme tu gamu taky obsahuje, a ktery je pak tim upravi aby se v te STR daly pouzit.

Musim si myslet, ze kdyz se vysle svetelny signal spolu s raketou co leti rychlosti treba v=0.8c, tak by za 1s melo to svetlo byt 300 000km pred tou raketou z pohledu kosmo-nautu uvnitr a tedy 1s od ni vzdaleny.


Z pohledu soustavy "v klidu" oproti te rakete by ta raketa mela byt 0.8c=240 000km vzdalena a ten signal snad taky 300 000km vzdaleny od mista startu.


V te rakete uplynulo pouhych 0.6s z pohledu soustavy "v klidu", tedy soustavy "v pohybu" vuci te rakete, coby bylo vysledkem z . Ten svetelny signal by ji  predebihal, jak by se jevilo z toho vektoroveho rozkresleni, o 0.36s, tedy o 108 000km, kdyz posuzovany z te soustavy "v klidu", tedy z venku te rakety, takze vlastne ze soustavy "v pohybu" vuci te rakete.


Problemem se tady muze zdat byt to, ze ty hodnoty 1, 0.64 a 0.36 jsou mocniny na druhou prestoze ale ta "1" znaci pohyb/drahu/1s a 300 000km zaroven a taky jejich mocniny. Ale jsou to mocniny jenom z pohledu trigonometrie a ne z pohledu skladani vektoru a nevim, jaky by to melo vyznam.


Zaroven je to ta ciste prostorova souradnice "", tedy vektor, od ktereho se tim promitnutim odecita vektor vzdalenosti doletu te rakety "x" a uz jsem nejspis zapomnel jak presne se to ma provadet a proto se sem obracim o vychodisko.


Na druhou stranu vztah mezi pohybem prostorem a pohybem casem je prave pomoci P.vety a tedy pomoci tech mocnin na druhou a to prave proto, ze se ruzna telesa a taky svetlo pohybuji po konceptualne odklonenych drahah. A to by melo znamenat, jak se taky v STR tvrdi, ze se nedaji jejich velikosti primo srovnavat.


Jestli presne tohle je reseny temi ruznymi ctyrvektory a rychlost 0.8c a vzdalenost 240 000 uz jsou jejich vysledkama anebo se jejich pomoci musi teprve resit mi soucasne neni jasne, ale kdyz raketa uleti z pohledu soustavy "v klidu" svych 240 000km tak uz se prece pohybuje po osach x, y a z dohromady, tedy jeji trasa by se zdala vysledkem vektoroveho souctu tech tri, a ta dodatecna souradnice casu by potom jenom snad tvorila druhou (tu ctvrtou = casovou) souradnici a proto by se to jednoduche vektorove rozkresleni, ktere jsem pouzil, zdalo namiste.


Jedina dve reseni, jak se z toho zdanlive neprekonatelneho rozporu s principy STR v podobe "c+v" vyporadat vidim, coby:

1) "c+v" a "c-v" se berou co vzdalenosti, kdyz se tedy, jak se tady zda zminovat, jednotky se mohou prelinat (viz totoznost casu souradneho s casem uplynulym),

2) Protoze vysledne "" je srovnatelny s principy STR, muze to byt ten "nevinny pocetni figl" jak toho dosahnout.

Zvedavec 4 napsal(a):

Musim si myslet, ze kdyz se vysle svetelny signal spolu s raketou co leti rychlosti treba v=0.8c, tak by za 1s melo to svetlo byt 300 000km pred tou raketou z pohledu kosmo-nautu uvnitr a tedy 1s od ni vzdaleny.

Z pohledu kousmonautů urazí světlo od rakety za sekundu 300 000km. S tím nelze než souhlasit.

Kosmonauti ovšem neví, že jejich raketa se pohybuje (natož pak rychlostí 0.8c). Oni věří tomu, že jejich raketa STOJÍ.

MichalAld napsal(a):

Zvedavec 4 napsal(a):

Z pohledu soustavy "v klidu" oproti te rakete by ta raketa mela byt 0.8c=240 000km vzdalena a ten signal snad taky 300 000km vzdaleny od mista startu.

Co je tohle za blbost? Z ohledu soustavy "v klidu oproti raketě" bude raketa stát na místě.

Takže nejdřív si dej dohromady soustavy, pak můžeme pokračovat...

No tim mam prece na mysli soustavu "v klidu", tedy pozorovatele na startu, ktera je "v klidu" (a tim vlastne "v pohybu") oproti pohybujici se rakete, co je "v pohybu" (a tedy v jasnemm klidu vuci sobe).

Ano, to je jeden ze základních myšlenkových experimentů, které se k STR uvádějí:

Mějme dvě rakety A a B letící téměř přesně proti sobě, které se budou míjet o pár metrů v přiměřeně průhledné mlhovině. V každé raketě i v místě mezi nimi, kde se budou míjet, je pozorovatel.

Vyzkouší se 3 ravianty:
- pozorovatel stojící mezi nimi v okamžiku míjení vyšle záblesk
- A vyšle záblesk
- B vyšle záblesk

A ve všech těch případech se všichni 3 shodnou na tom, že se po záblesku na všechny strany od nich rozbíhá světelná koule rychlostí c.

Poznámka: Zároveň ale nastává Dopplerův jev, takže se neshodnou na tom, v jakém směru uvidí jaké barvy a tak můžou určit, jak se pohybují vůči mlhovině.

Pri kontrakcii dĺžok by bolo zaujímavé vedeť, že či pohybujúce sa teleso po jeho znížení rýchlosti na nulu si zmenu dĺžky zachová podobne ako pri dilatácii času, čo by sa dalo porovnať s druhým telesom, ktoré bolo po celú dobu v pokoji. Budú mať tieto dve telesá rozdielne dĺžky podobne ako rozdielne časy?

Ucelem tehle me uvahy bylo zjistit, ktera cast tohodle prikladu pro reseni kontrakce delek obsahuje dilataci a ktera tu kontrakci.


V tomhle priklade pro kraceni delky telesa "v pohybu" bych predpokladal, ze pri stale "c", a kdy "" znaci pohybem zkracenou delku vagonu (jak pozorovano ze stanice), by /c=. Ale vypada, ze tomu tak v tehle uvaze neni.


Prevedeny cisty vytazek z rozdilu a jeho dilci casti umistenych nalevo v citateli, tedy to (1-v/c), se prevadi napravo do jmenovate.


Takze, aby se dostal castecny cas , tedy doba, za kterou ten foton dorazi ke vzdalujicimu se predku vagonu "v pohybu", ta pomyslna delka vagonu "v pohybu" se musi vydelit nejenom "c", ale navic take tim cistym vytazkem (1-v/c), ktery se se vzrustajici rychlosti pohybu vagonu bude zmensovat (blizit se 0) a tim, protoze je ve jmenovateli, bude zvetsovat vysledek, tedy pri nemenne prodluzovat potrebnou dobu pohybu fotonu k predni stene toho vagonu.


V pripade tomu pak bude naopak. Vytazek ze souctu prevadime a delime jim /c! Protoze soucet bude vetsi nez ciste "c", vysledne vychazi mensi.


Protoze ty ciste vytazky (1-v/c) a (1+v/c) jsou ve jmenovateli, a tedy jsou casti zlomku aby se doslo k jejich prumernemu ucinku na vysledny soucet tech dvou zlomku, tedy souctu tech dvou casu a , musi se mezi sebou nejdriv vynasobit (1-v/c)(1+v/c)= a jelikoz prumer z nasobku je jeho odmocnina, prumerem tady bude  ! Tim se dojde ke game, ktera se pocita coby , a ktera, jak je videt, v tomhle pripade ma svuj puvod ve vypoctu prumeru a udava nam tedy prumerneho delitele z nasobku jeho dvou casti v souctu zlomku.


Protoze i pri vypoctu dilatace pri svetelnych hodinach umistenych napric pohybu vagonu vzdalenost pohybu fotonu na nich, se da rict, ze by byla prumernou delkou souctu vzdalenosti jeho dvou opacnych tras, tedy vpred a zpet, ale protoze ty dve trasy jsou stejne delky, deli se jenom dvema.


Potom jemu vysly dilci vysledek se celkem jasne zda taky byt vysledkem pohybu fotonu vpred a zpatky a ne jeho prumerna doba preklenuti jedne delky vagonu "v pohybu" "". Proto tam taky vychazi to .


(On tam pak pokracuje)"Z nasi diskuse o casove dilataci take vime, ze:" tst= = 2/c (a dale rika) "Kdyz tohle zkombinujem s nasim vysledkem pro dostanem, ze":  = a potom tedy  .


Jestli je ma predstava toho, jak vypocitat prumer v takovemhle pripade spravna, to jeho dilci     by se melo dale vydelit 2gama aby se dostal ten prumerny cas preletu "" jedinou cestou a tedy   .


Potom pri pouziti jeho postupu by vyslo 2/c=/c a ztoho =2. A protoze se tam v tom jeho 2/c uvazuje s dvojim preletem, po dodatecnem vydeleni dvema vychazi, ze =.


Takze to vypada, ze by se teleso pohybem zkracovat nemelo. Netvrdim, ze se nezkracuje, ale jenom, ze to tak vypada.


Vezi to snad, mozna i mimo jine, v pojeti prumeru. A protoze se tohle zda byt pocetni problem, snad se k tomu nekdo vyjadri a pripadne to osvetli!

Tohle právě řeší kontrakce délek a dilatace času.

Mohl by nekdo vysvetlit vyznam rozdilu mezi a ? Rozumnel bych tomu, ze =, a ze vysledek toho prvniho bude mit nejake jednotky a ten druhy je bezjednotkovy, snad v %.


Ale nerikaji jinak to same? Nejsou to oba ruzne tvary P.vety? Zda se mi ale, ze mi vyznam jejich rozdilu nejak (intuitivne) unika.


Ma tenhle ukon nejake jmeno v matematice? Vubec si totiz nevzpominam, zeby jsme to kdy ve skole brali (mozna i proto, ze uz to je hodne davno).

Oč by byl život jednodušší, kdybychom měřili v tzv. přirozených jednotkách (kde c=1). Potom by existovalo jen a tvůj problém by nejspíš neexistoval vůbec...

MichalAld napsal(a):

Oč by byl život jednodušší, kdybychom měřili v tzv. přirozených jednotkách (kde c=1). Potom by existovalo jen a tvůj problém by nejspíš neexistoval vůbec...

A neni to tak? Neni to c=1 bezne ve vzorcich STR?

Kdysi jsem udelal objev a to ten, ze jsem zjistil, ze vzorecek pro vypocet gamy je rafinovane zamaskova-na P.veta a to z duvodu, jak verim, aby na jeji podstatu hned tak nekdo neprisel. Kdyz jsem to napsal do Aldebaranu nikdo to nijak zaporne nezamit, takze na tom neco bude.

Vypada to, ze zatimco to je cista P.veta, ucelem toho bude, ze to snad je obmena P.vety, kde ty tzv. trigonometrickye funkce resi stejny vypocet, ale pomoci uhlu a za ucelem jeho zjednoduseni. A taky aby gama vysla bez jednotek aby se mohla pouzit coby prepocet pro ruzne veliciny pocitane v STR. Ale nejspis ucel toho muze byt jeste trochu slozitejsi.

Jinak mi neni jasne, co bys tim jeste jineho mohl myslet.