Matematické Fórum

Call_me_Utka

Hezký den.
Potřeboval bych poradit s tím, jak získat výskedek této matice.

$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} a & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2a & 3a \\ \end{array}\right)$

Očekávál bych, že druhý řádek vynásobíme parametrem a a následně od něj odečteme první řádek.

$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} a & 1 & 2 & 3 \\ 0 & a-1 & 2a^2-2 & 3a^2-3 \\ \end{array}\right)$

Jak ale postupovat dále?
Je možné zapsat výsledek pomoci součtu partikulárního řešení a lineárního obalu fundamentálního systému?

Děkuji za Váš čas a pomoc.

laszky · 27. 01. 2020 19:19

↑ Call_me_Utka:

Ahoj, postupuj uplne stejne jako by $a$ bylo nejake cislo. Jen je treba zvazit, jak zavisi hodnost matice na parametru $a$ a ze pokud $a=0$ , potom neni nasobeni $a$ vhodna uprava ;-)

vanok · 27. 01. 2020 19:25

Ahoj ↑ Call_me_Utka:
Tvoja uprava je dobra za podmienky, ze a je nenulove a rozne od 1.
Tie dva pripady musis specialne vysetrit.

Tak potom ak $a \neq 1;a\neq 0$ tvoj system sa pise v matricovej forme
$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} 1 & 1/a& 2/a& 3/a \\ 0 & 1 & 2(a+1)&3(a+1)\\ \end{array}\right)$

Dokazes od tial vyjadrit tie riesenia v parametrickej forme?

Call_me_Utka

Jasně.

Chvíli to trvalo, ale mám to.
Popíšu svůj postup:

$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} a & 1 & 2 & 3 \\ 0 & a-1 & 2a^2-2 & 3a^2-3 \\ \end{array}\right)$

Vydělím tak, aby nejvyšší stupeň řádku začínal jedničkou. Případně zavádím podmínky.

$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} 1 & 1/a & 2/a & 3/a \\ 0 & 1 & 2(a+1) & 3(a+1) \\ \end{array}\right); a \neq 0; a \neq 1$

Partikulární řešení:
Jelikož dimenze matice - hodnost matice = 1, mohu si zvolit hodnotu z=0.
Zbytek bodu dopočítávám tak, aby obě rovnice platily.

$\begin{pmatrix} -3 \\ 3(a+1)\\ 0 \end{pmatrix}$

Fundamentální systém:
Stačí si zvolit jeden vektor.
$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} 1 & 1/a & 2/a & 0\\ 0 & 1 & 2(a+1) & 0\\ \end{array}\right)$
$\begin{pmatrix} 2 \\ -2(a+1)\\ 1 \end{pmatrix}$

Tím pádem řešení je:
$\begin{pmatrix} -3 \\ 3(a+1)\\ 0 \end{pmatrix} +span( \begin{pmatrix} 2 \\ -2(a+1)\\ 1 \end{pmatrix} )$

Zkontroloval jsem to v Geogebra, tak snad by to mělo by to být v pořádku :)
Děkuji za pomoc.

LukasM · 27. 01. 2020 21:03

↑ Call_me_Utka:
A jak vypada reseni pro a=0 a a=1?

Call_me_Utka · 27. 01. 2020 21:23

↑ LukasM:
Řekl bych, že tyto hodnoty jsou mimo definiční obor řešení.

vanok · 27. 01. 2020 21:30

↑ Call_me_Utka:,
Presnejsie, akoze tvoja matica je v schodovitej forme je jasne ze v pripade $a \neq 1;a\neq 0$ cf ↑ vanok: (ak oznacis x,y,z nezname tvojho systemu, mozes zvolit neznamu $z =p$ (p parameter) potom
$y= 3(a+1)-2(a+1)p$
a $x=(3/a)-(1/a)(3(a+1)-2(a+1)p)-(2/a)p$ .
Cize teraz mozes vyjadrit riesenie v parametrickej forme
$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=...$ a jasne oddelit vektorovu a afinnu cast riesenia.

( Poznamka. Maticu o ktorej pises, ze ma hodnost 1, ta ma v skutocnosti hodnost 2 .... vsak jej 2 riadky su linearne nezavisle)

LukasM · 28. 01. 2020 10:14

Call_me_Utka napsal(a):
Řekl bych, že tyto hodnoty jsou mimo definiční obor řešení.

To zní na první pohled učeně, ale na druhý se mi zdá, že to nedává žádný smysl.
Každopádně soustava má řešení jak pro $a=0$ , tak pro $a=1$ .

Call_me_Utka · 28. 01. 2020 13:26

↑ LukasM:
Při $a=1$ se dva řádky matice stanou lineárně závislé. Tak řešení bude nekonečně mnoho.
Pro $a=0$ ale řešení by fakt mělo být. Sice při úpravách dělím $a-1$ a $a$ , tak tyto hodnoty vypadávají z výsledného definičního oboru.
Asi bych měl rozepisovat řešení matice s těmito parametry $a = 0, a = 1$ zvlášť.

LukasM · 28. 01. 2020 13:38 — Editoval LukasM (28. 01. 2020 13:38)

↑ Call_me_Utka:
$a=0$ : Ano, ale to, že je řešení nekonečně mnoho ještě není výsledek. Např soustava dvou rovnic
$x+y&=3 \\ x+y&=3$
má nekonečně mnoho řešení, ale například dvojice $x=0\wedge y=0$ mezi ně nepatří. Mezi těmi čísly musí něco platit, aby to bylo řešení. Taktéž u tvé soustavy.

$a=1$ : Hodnoty nevypadávají z žádného definičního oboru. Jenom pro ně tvůj postup nedává správný výsledek, takže tyhle případy musíš vyřešit zvlášť, jak píšeš.

Call_me_Utka

Asi rozumím. Děkuji ↑ LukasM:.
Mohu ale ještě poprosit o pomoc s podobným příkladem?
Stejným postupem dostávám velice nepěkná čísla, a hlavně vychází chybně.

$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} a & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2a & 6 \\ \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} a & 1 & 2 & 3 \\ a & a & 2a^2 & 6a \\ \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} a & 1 & 2 & 3 \\ 0 & a-1 & 2a^2-2 & 6a-3 \\ \end{array}\right) \sim atd.$
Je na to výhodnější postup, nebo dělám něco špatně?

LukasM · 28. 01. 2020 14:15

↑ Call_me_Utka:
Na tom co jsi poslal nic chybného nevidím (platí to tedy jen pro $a\neq 0$ ).

Je možná trochu nešikovné si tam ten parametr takhle roztahat. Já bych asi na začátku řádky vyměnil, od druhého odečetl první a přehodil první a druhý sloupec. Ale nepočítal jsem to, nevím, jak moc to pomůže.

vanok · 28. 01. 2020 16:43 — Editoval vanok (28. 01. 2020 21:10)

↑ Call_me_Utka:
Poznamka.
Tie specialne pripady sa vzdy studuju od prvevo daneho systemu.
Tu
$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} a& 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2a& 3a\\ \end{array}\right)$

Pre a=1 da
$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array}\right)$
ide maticu ze dvomi identickymi riadkamy, tak staci uvazovat
$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} 1 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array}\right)$

A to umoznuje napisat riesenie v parametrickej forme.
$z=p$ (p parameter)
$y=q$ (q parameter)
$x=3-q-2p$ .....
Atd.

Pripad a=0 ukonci sam.

laszky · 28. 01. 2020 21:02

↑ vanok:

Ahoj. Pokud je jedna rovnice o trech neznamych, musis mit 2 volne parametry ;-)
Takze tady napriklad

$(x,y,z) = (2p+q,1-q,1-p),\; p,q\in\mathbb{R}$

vanok · 28. 01. 2020 21:12

↑ laszky:,
Dakujem.
Ano, uz som to opravil.

vanok · 29. 01. 2020 16:46 — Editoval vanok (29. 01. 2020 16:50)

↑ Call_me_Utka:,
Pre kontrolu ti pridam este pripad ked a=0.
Vtedy povodna matica je
$\left(\begin{array}{@{}ccc|c@{}} 0& 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 &0 & 0\\ \end{array}\right)$ .
Parametricke riesenie sa daju napisat napr. takto
$z=p$ (p paremeter)
$y=3-2p$
$x=-3+2p$
Co nam da
$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}= p \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}$

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2020 18:54 — Editoval Call_me_Utka (27. 01. 2020 19:05)

Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#2 27. 01. 2020 19:19

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#3 27. 01. 2020 19:25

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#4 27. 01. 2020 20:25 — Editoval Call_me_Utka (28. 01. 2020 14:12)

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#5 27. 01. 2020 21:03

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#6 27. 01. 2020 21:23

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#7 27. 01. 2020 21:30

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#8 28. 01. 2020 10:14

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

Call_me_Utka napsal(a):

#9 28. 01. 2020 13:26

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#10 28. 01. 2020 13:38 — Editoval LukasM (28. 01. 2020 13:38)

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#11 28. 01. 2020 13:58 — Editoval Call_me_Utka (28. 01. 2020 14:00)

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#12 28. 01. 2020 14:15

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#13 28. 01. 2020 16:43 — Editoval vanok (28. 01. 2020 21:10)

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#14 28. 01. 2020 21:02

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#15 28. 01. 2020 21:12

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

#16 29. 01. 2020 16:46 — Editoval vanok (29. 01. 2020 16:50)

Re: Nalezení řešení soustavy rovnic s parametrem - Linearní algebra

Zápatí