Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 02. 2020 16:37 — Editoval stuart clark (01. 02. 2020 16:37)

stuart clark
Příspěvky: 1011
Reputace:   
 

polynomials

Consider the equation  in terms of $y$ as $y^4-2y^3+2y^2-y+q=0$ for real number $q$

The sum of non real roots  can be

$(a)\; 1$

$(b)\; 1/2$

$(c)\; 1/4$

$(d)$ None.

also evaluation of  minimum number of non real roots of the equation is

Offline

 

#2 02. 02. 2020 07:25

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: polynomials

$W(y)=y^4-2y^3+2y^2-y+q=(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)(y-y_4) \Rightarrow  y_1+ y_2+ y_3+ y_4=2 \\
\\
W'(y)=4y^3-6y^2+4y-1=(y-\frac12)(4(y-\frac12)+1) \\
W_{min}=W(\frac12)=\frac{-3}{16}+q\\
\\
a) \ \ q>\frac{3}{16} \ \Rightarrow \  \text{sum of non real roots }=2\\
\\
b) \ \ q \le \frac{3}{16} \\
(y(y-1))^2+(y(y-1))+q=0  \\ 
y^2-y=\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2} \ \  y^2-y=\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2} \\
b.1) \ \ y^2-y=\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}\\
 \Delta \ge 0 \ \Rightarrow \  \text{sum of real roots }=y_1+y_2=1\\
b.2) \ \ y^2-y=\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2}\\
 \Delta < 0 \ \Rightarrow \  \text{sum of non real roots }=y_3+y_4=1$

Offline

 

#3 02. 02. 2020 08:12

misaH
Příspěvky: 13204
 

Re: polynomials

$W(y)=y^4-2y^3+2y^2-y+q=(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)(y-y_4) \Rightarrow  y_1+ y_2+ y_3+ y_4=2 \\

W'(y)=4y^3-6y^2+4y-1=(y-\frac12)(4(y-\frac12)+1) \\
W_{\min}=W\(\frac12\)=\frac{-3}{16}+q\\

a) \ \ q>\frac{3}{16} \\ \Rightarrow \\  \text{sum of non real roots }=2
\\
b) \ \ q \le \frac{3}{16} \\
(y(y-1))^2+(y(y-1))+q=0 \\ 
y^2-y=\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}\\ 
y^2-y=\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2} \\
b.1) \\y^2-y=\frac{-1-\sqrt{1-4q}}{2}\\
 \Delta \ge 0 \\ \Rightarrow \\  \text {sum of real roots }=y_1+y_2=1\\
b.2) \\y^2-y=\frac{-1+\sqrt{1-4q}}{2}\\
 \Delta \le 0 \\ \Rightarrow \\  \text{sum of non real roots }=y_3+y_4=1$

Offline

 

#4 03. 02. 2020 10:37

stuart clark
Příspěvky: 1011
Reputace:   
 

Re: polynomials

Offline

 

#5 04. 02. 2020 06:27

misaH
Příspěvky: 13204
 

Re: polynomials

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson