Matematické Fórum

kafka · 02. 02. 2020 07:06

Dobrý den,
lze nějak poznat na první pohled, že kvadratická rovnice bude mít dva kladné kořeny (nemyslím dle vietovych vzorců)?
Děkuji.

zdenek1 · 02. 02. 2020 07:56

↑ kafka:
To záleží co znamená

nemyslím dle vietovych vzorců

Pokud máš rovnici v "klasickém" tvaru $ax^2+bx+c=0$ a $a>0$ ,
tak nutná podmínka je: $b<0$ a současně $c>0$ .
Ale není postačující.

MichalAld · 02. 02. 2020 11:54

Já akorát vím, že když jsou všechny tři koeficienty kladné, tak mají oba kořeny zápornou reálnou část.
Takže když nejsou všechny kladné, tak aspoň jeden kořen má kladnou reálnou část.

Jinak - on se dá sestrojit takový graf, jak se posouvají kořeny při změně parametrů ... a někdy to jde skoro i z hlavy.

Pro začátek je dobré si rovnici podělit tím áčkem (abys měl u kvadratického členu jedniku) - na kořeny to nemá vliv.

Takže máš rovnici (samozřejmě to b, c už jsou jiná čísla než co byla předtím)

$x^2 + bx + c = 0$

A teď, když je c=0, tak jeden kořen je vždy nula, a druhý je rovný -b. Takže je buď v kladné, nebo záporné části (té komplexní roviny, kde malujeme kořeny).

A když začneš c zvyšovat, kořeny se začnou posouvat k sobě (takže jsou buď oba kladné, nebo oba záporné, podle toho, jaký byl ten jeden když bylo c=0). Pokud začneš c snižovat do záporných hodnot, tak se kořeny "rozjíždějí" od sebe .... už se budou rozjíždět vždycky.

Zajímavější je ta varianta, kdy se kořeny "přibližují" k sobě ... (zvyšování c) - protože při určité velikosti c se setkají, a potom se začnou ubírat jeden nahoru a jeden dolů - stanou se z nich komplexně združené kořeny. Zůstanou už ale na té samé polorovině, na jaké vznikly ...

Můžeš si s tím chvíli hrát na nějakém výpočetním programu a bude ti to za chvíli jasné...
WolframAlpha

Zjistit ten okamžik, kdy se reálné kořeny začnou měnit na komplexní asi nepůjde jinak, než spočítat ten determinant.... $b^2-4ac$ či v našem případě jen $b^2-4c$

misaH · 02. 02. 2020 12:31 — Editoval misaH (02. 02. 2020 12:32)

Ahoj...

diskriminant :-D

Myslím, že dotyčnému išlo len o znamienka koreňov...

MichalAld · 02. 02. 2020 13:02

Jo jo, klasika ... "říká a, myslí b, píše c a má tam být d"...

MichalAld · 02. 02. 2020 13:16

misaH napsal(a):
Myslím, že dotyčnému išlo len o znamienka koreňov...

No však, takže když budu mít třeba rovnici

$x^2 + 7x + 10 = 0$

hned vidím, že oba kořeny budou v té záporné polovině komplexní roviny - takže se tím dál nemusím zabývat.

Když vezmu

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Tak začnu tím, že místo desítky dám nulu,

$x^2 - 7x = 0$

jeden kořen je 0, druhý 7. A se zvětšováním c bude ten "levý kořen cestovat doprava a pravý doleva". A to do té doby, dokud bude $4c < b^2$ , tedy dokud 4c bude menší než 49, tedy c < 12.25. Poté už kořeny opustí reálnou osu a stanou se komplexními. Protože naše c=10, tak budou ještě na reálné ose - tudíž ano, oba kořeny jsou kladné.

Jasně, stačí vzít ty dvě podmínky, jednu co napsal Zdeněk a druhou s tím diskriminantem - jenže to si nebude nikdo pamatovat. Takto se to dá vymyslet "from scratch".

Jasně - otázka je, proč se tím vůbec trápit, když si můžeme kořeny rovnou spočítat ... jenže jsou obory, kde to svůj význam má (a dost velký) - ony totiž kořeny polynomu úzce souvisí s lineárními dif. rovnicemi a ty zase se zesilovači či regulátory ... a jeden ze základních problémů je navrhnout zesilovč či regulátor tak, aby byl stabilní ... to znamená mít kořeny v té záporné části komplexní roviny ... a k tomu se nám náramně hodí tady ta znalost "chování kořenů při změně zesílení zpětné vazby"...