Matematické Fórum

Missskkka · 06. 02. 2020 21:14

potřebovala bych pomoc s příkladem: vypočítejte vzdalenost bodu A [5;2;-5] od oskulační roviny křivky $\vec{r}(t) = (6t^{3}+2t^{2}+7;ln(4t+1);e^{t})$ v bode T [?;?;1] dekuji

check_drummer · 06. 02. 2020 21:57

Ahoj, a co ti není jasné?

surovec

↑ Missskkka:
Tak $\mathrm{e}^t=1$ , takže $t=0$ .
Proto $T=\left[ 7;\,0;\,1\right]$ .
Tečný vektor je $\overrightarrow{t}=\left(18t^2+4t;\,\frac{4}{4t+1};\,\mathrm{e}^t \right) = \left(0;\,4;\,1 \right)$ .
Vektor druhé derivace je $\overrightarrow{n}=\left( 36t+4;\,-\frac{16}{(4t+1)^2};\,\mathrm{e}^t \right) = \left( 4;\,-16;\,1 \right)$ .
Normálový vektor hledané roviny je $\left(0;\,4;\,1 \right)×\left( 4;\,-16;\,1 \right)=(20;\,4;\,-16)=4(5;\,1;\,-4)$ , takže rovina má rovnici $5x+y-4z-31=0$ .
A vzdálenost bodu od přímky je $d=\frac{|5\cdot 5+2-4\cdot (-5)-31|}{\sqrt{5^2+1^2+(-4)^2}}=\frac{16}{\sqrt{42}}=\frac{8\sqrt{42}}{21}$ .

Jj · 07. 02. 2020 10:38

↑ surovec:

Hezký den.

Řekl bych, že je ve výpočtu chybka: Rovina $5x+y-z-34=0$ neprochází bodem $T[ 7;\,0;\,1]$ .

Myslím, že součin $\left(0;\,4;\,1 \right)×\left( 4;\,-16;\,1 \right)=4(5,1,-4)$ , pak rovnice roviny bude $5x+y-4z-31=0$ a vzdálenost bodu A od ní bude
$d = \frac{8\sqrt{42}}{21}$

surovec · 07. 02. 2020 10:46

↑ Jj:
Ano, všimnul jsem si, začal jsem to opravovat ještě před vaším upozorněním...

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2020 21:14

vzdalenost bodu od oskulační roviny křivky

#2 06. 02. 2020 21:57

Re: vzdalenost bodu od oskulační roviny křivky

#3 07. 02. 2020 09:17 — Editoval surovec (07. 02. 2020 10:45)

Re: vzdalenost bodu od oskulační roviny křivky

#4 07. 02. 2020 10:38

Re: vzdalenost bodu od oskulační roviny křivky

#5 07. 02. 2020 10:46

Re: vzdalenost bodu od oskulační roviny křivky

Zápatí