Matematické Fórum

Ahoj,
přesné řešení v tuto chvíli neznám, tak jen náznaky (hledané číslo označme jako n, jeho ciferný součet jako s):
1) n musí být dělitelné 10,
2) c musí být dělitelné 10000,
3) lze nalézt čísla (dokonce dělitelné deseti), kterým pokud je zvětšíme o 10%, se zmenší ciferný součet o "mnoho" procent (budou obsahovat jen velmi málo nenulových číslic), takovým je např. číslo končící ...454545460 nebo např. končící ...09090910 a obecně končící ..,x-1,10-x,x-1,10-x,x,0
4) lze nalézt čísla (dokonce dělitelná deseti), kterým pokud je zvětšíme o 10%, se zvětší ciferný součet přibližně o 50%, takovým je např. číslo 11111110, nebo číslo 222220, nebo číslo 3333330, nebo číslo 444440.

Možná by bylo možné vhodnou kombinací číslic - s využitím konstrukcí v bodech 3 a 4 sestrojit takové číslo, které by navíc splňovalo 2 (a samozřejmě i zadání úlohy).

Ráde bych se zeptal odkud úloha pochází a zda je Ti řešení známo?

↑ analfabetka:
Nevím, jestli moje řešení je nejmenší ale mám číslo:

Pak toto číslo zvětšené o 10% je:

a tedy což z 90000 dělá 9.99%

Náznak výpočtu
1.Číslo musí končit číslicí 0 a ta nemá na ciferný součet žádný vliv
2.Každá číslice 6 mezi číslicemi 9 sníží ciferný součet čísla vynásobeného 1.1 o 3
např. 9669990 ma c.s. 48 a 9669990x1.1=10636989 má c.s.42
3. c.s. c=2997x6+8002x9=90000
4. 2997x3=8991
5. 8991/90000=0.0999 což je 9.99%

↑ Honzc: Ciselny sucet o 10% zvacseneho hladaneho cisla musi byt o 9,99% mensi ako ciselny sucet samotneho hladaneho cisla.

↑ Honzc: jeeemine, az teraz som pochopila tie zatvorky a pod nimi cisla :D To je akoze opakujuci sa retazec :D
No to je veru strasne moc dlhe cislo. Preto je tam asi uvedene ze to ma byt najmensie mozne kladne cele cislo. Ja predpokladam ze to nebude mat viac ako 50 cislic. mozno 30. Tak ale kazdopadne sa mi tam to 9,99% nepaci. Moj mus spravil v PC program ktory by to vyratal ale presiel 999 999 999 999 a program nenasiel zhodu

Honzc napsal(a):

↑ analfabetka:
Našel jsem ještě jedno číslo menší než v příspěvku č.4

Toto číslo má 11000 číslic stejně jako to v příspěvku č.4.
Pak zvětšené 10% je

A tedy

Ahoj, tvojich 11000 cislic je strasne vela.

cislo 1 ktore je mensie od tvojho a splna podmienky:



a popri pisani prispevku este cislo 2 ktore splna podmienky:



samozrejme ani jedno stale nie je najmensie... Matemetika nam zlyhava, nastava cas na programovanie a Brute Force hladanie cisla strojom zakladnou logikou/pointov prispevku:



1)  Vezmeme si najnižšie kladné celé číslo x = 1. Vypočítame zväčšené číslo y. 1 krát 1.1 = 1.1. Nie je to celé číslo, prvá podmienka nie je splnená.

2)  Vezmeme si ďalšie kladné číslo x = 2. Vypočítame zväčšené číslo y. 2 krát 1.1 = 2.2. Ani toto nie je celé číslo, pokračujeme ďalej.

3)  Vezmeme ďalšie číslo x = 3 a počítame. 3 krát 1.1 rovná sa 3.3. Nezúfame a trpezlivo počítame ďalej.

...

19810. Vezmeme ďalšie číslo x ´= 19810. 19810 krát 1.1 rovná sa 21791. Ciferný súčet čísla x je 1+9+8+1+0 = 19. Ciferný súčet zväčšeného čísla y mi vychádza na 2+1+7+9+1 = 20. Ciferný súčet sa nám teda neznížil, ale naopak, zvýšil o 5.2632 percenta. Pokračujeme.

...

28630. Zoberieme si teraz celé číslo 28630. Prenásobené 1.1 nám dá číslo y, rovné 31493. Ciferným súčtom pôvodného čísla x je číslo cif_x, rovné 2+8+6+3+0 = 19. Podobne vyrátajme ciferný súčet čísla y. 3+1+4+9+3 = aj tentoraz je to 20 a teda navýšenie o 5.2632 percenta. Rátajme teda smelo ďalej.

a snaaaaad raz stroj dorata... Ibazeby sa nasiel niekto sikovny kto najde rychlejsi postup a matematicky rovnicami nejako ukoncil nase "hadankove" trapenie...

Pekny den prajem...

↑ jarrro: Ahoj, no vychadzali sme zo zakladnej uvahy ak je spravna teda ako pisal hore ze "Ze ciferny sucet musi byt 10000 a potom 9001" cize napr. 1111 deviatok a jedna jednotka - ciferny sucet 10000, s tym ze potom sa vkladaju nuly ktore len posuvalu ciferny sucet 10 nasobneho cisla - co je rotacia retazca doprava o 1 poziciu. (100-9.99=90.01 a teda minimalny pocet musi byt 9001 a 100%=10000) Ci???? Matika nam moc nejde, "honzc" nieco naznacil v jeho vypoctoch ale k vypoctu ziadny konkretny vzorec/rovnice tak potom sa tazko robila automatizacia strojom :-) V kazdom pripade na danu ulohu existuje checker v podobe MD5 hashu, nic viac. Cize viem iba MD5 nejakeho cisla niekam vlozit a tam mi to vypluje ano spravne alebo nespravne - (spravny hash nemam/neviem), takze z cisel ktore sem dal som zistil ze nie su najmensie(aj ked spravne ale nie najmensie). Ako pisem matika nam moc nejde, ale zadat spravny postup do stroja vieme dat nech hlada/pocita. Takze ak niekto vie nejaku teoriu ktora by bodla sem s nou - teda pokial je ta uvaha v prvych 2 riadkoch co som pisal zla(nech to nemusi ist step by step od 1 do... a skratit cas iba rovno tym hladanim ako som pisal hore s tym cif.suctom 9kami a 1tkou a nuly medzi s tym ze sa to iba posuva).
PS: jop mas pravdu nie je delitelne 10 - cize hodim NULU na koniec - tym apdom delitelne 10 je a na cifernom sucte 0 nic neurobi - stale je to mensie cislo ako 11tisic miestne

↑ ketaminek:
Já jsem nepsal, že ciferený součet musí být 10000, ale že ciferný součet musí být dělitelný 10000.

Po delší době jsem se vrátil k tomuto problému a jsem si na 99% jistý, že jsem ho vyřešil.
Podle mne nejmenší celé kladné číslo X ,pro které platí : Když toto číslo zvětšíte o 10%, ciferný součet se zmenší o 9,99% je:

Toto číslo má 11 000 číslic
Pak číslo zvětšené o 10% dává

A tedy