Matematické Fórum

Jarek123 · 20. 02. 2020 14:16

Dobrý den, v knize jsem narazil na příklad s následujícím zadáním:

Buď dán afinní prostor , kde $\forall X[x_1,x_2],Y[y_1,y_2]\in\mathbb{A}:f(X,Y)=x_1-y_1$ a nechť zobrazení $\alpha$ je dáno předpisem: $\alpha(X[x_1, x_2])=\frac{x_2}{x_1}$ . Zjistěte zda je $\alpha$ afinní soustava souřadnic prostoru $\mathcal{A}$ . V knize je jako správný výsledek uvedeno, že se jedná o soustavu souřadnic, jenže já došel k opačnému výsledku. Postupoval sem takto:

Podle jedné věty vím, že aby bylo zobrazení $\alpha$ afinní soustava souřadnic prostoru $\mathcal{A}$ , musí platit dvě podmínky, z nichž první říká: $\exists P\in\mathbb{A}, \alpha(P)=\vec{o}$ . Pokusil jsem se tedy tento bod najít. Označil jsem souřadnice bodu $P$ jako $P[p_1,p_2]$ a dosadil konkrétní vztah pro zobrazení: $\alpha(P)=0\Leftrightarrow \frac{p_2}{p_1}=0\Leftrightarrow p_2=0 \wedge p_1\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ . Tím jsme dostali konkrétní "y-ovou" složku hledaného bodu $P$ , $p_1$ lze dopočítat ze vztahu pro nosič prostoru: $0=p_1^2\Leftrightarrow p_1=0$ , ale protože $p_1$ se nesmí rovnat nule (kvůli předchozím výpočtům), tak hledaný bod $P$ neexistuje. Tím není splněna hned první podmínka ze zmiňované věty a $\alpha$ proto není soustavou souřadnic affinního prostoru $\mathcal{A}$ .

Udělal jsem chybu v úvaze, nebo je chyba v knize?

Matematické Fórum

#1 20. 02. 2020 14:16

Afinní soustava souřadnic

Zápatí