Matematické Fórum

vanok · 19. 02. 2020 20:17 — Editoval vanok (25. 02. 2020 19:29)

Pozdravujem,
Tu najdete jedno cvicenie ako urcit jeden system generatorov pre $SL_2(\Bbb Z)$ .
Kde $SL_2(\Bbb Z)$ oznacuje grupu matic 2x2 z celymi koeficientami determinantu 1.
Najprv oznacme

$A = \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}$ ,

$B_q= \begin{pmatrix} 1&q\\ 0&1 \end{pmatrix}$ ,
$B=B_1$ ,

$C_q= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&q \end{pmatrix}$ ,
$C=C_{-1}$ .
Dokaz sa da urobit na tri etapy
a) Vypocitajte $A^2, B_qB_{q_1}, B_q^{-1}$ .
Urcite $C_q$ vdaka $A$ a $B_q$ .
Urcite rady matic $A,B,C$ .
b)Pre $a, b \in \Bbb Z ; b \neq 0$ existuje $q \in \Bbb Z$ take, ze $C_q \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1\\ b_1 \end{pmatrix}$ , take, ze $|b_1|<|b|$ .
Vdaka tomu, dokazte, ze existuje matica $M$ taka, ze,
$M \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1\\ 0 \end{pmatrix}$ . ( $M$ dostaneme ako sucin matic $C_q$ ).
A teraz dokazte, ze
c) $SL_2(\Bbb Z)$ je generovana z $A$ a $B$ . A tiez aj z $A$ a $C$ .

Poznamka.
Toto cvicenie sa najde v peknej knihe: Nadin, Quitté Algorithmique algébrique.

Pomeranc · 20. 02. 2020 00:07

↑ vanok:

Ahoj,

jsi si jistý, že $SL_{2}(\mathbb{Z})$ tvoří grupu :) ?

vanok · 20. 02. 2020 05:47

Ahoj ↑ Pomeranc:,
Ano.

vanok · 21. 02. 2020 09:17

Pre tych, co maju problem z #2, staci konstatovat, ze matica $\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \in SL_{2}(\mathbb{Z})$ ,
ma inverznu maticu $\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}$ ...

vanok · 22. 02. 2020 23:11 — Editoval vanok (25. 02. 2020 19:30)

Aby ste mohli overit vase riesenie pridavam este toto.
a)
$A^2=-I,$ , $A^4=I$ , $B_qB_{q_1}=B_{q+q_1}$ , $B_q^{-1}=B_{-q}$ , $C_q=AB_q$ , $C=AB^{-1}$ , $C^3=I$ , $B_q=B^q$
(Iste tiez vidite, ze rad B nie je konecny).
b) tu staci urobit suvis z euklidovskym delenim, ( myslite na delenie cisla a cislom b: co sa moze napisat aj takto
$b_1=a+bq$ kde $|b_1|<|b|$ ... )