Matematické Fórum

mulder · 25. 02. 2020 19:26

Dobrý večer,
toto je poslední limita se kterou si nevím rady:
$\lim_{x\to0}\frac{5x+sin7x}{2x}$
Zde jsem úplně mimo a nevím jak postupovat.
Děkuji za nakopnutí

mulder · 25. 02. 2020 19:43

↑ mulder:Rozdělil jsem si to na dvě limity s tím, že první vyšla 5/2 a u druhé jsem si to upravil tak, že jsem výraz rozšířil o 7/2, aby se mi vytvořila limita $\lim_{x\to0}\frac{sin7x}{7x}=1$ tak pak výsledek mi vyšel 6. Je to správně?

krakonoš

↑ mulder:
Už od roku 2012 se zajímáš o úlohy z analýzy, které jsou na mnohem vyšší úrovni.Je to vidět z tvé historie.To určitě dáš dohromady. Limity vyšetřujeme vždy v podílovém tvaru, nevím proč to rozděluješ, zde k tomu není důvod

surovec · 25. 02. 2020 21:13

↑ krakonoš:
No podle mě k tomu rozdělení na dva zlomky důvod je. A vyřešil to úplně vzorově...

krakonoš

↑ surovec:
V tomto případě to výsledek neovlivní.
Toto je příklad $\lim_{x\to0}(\frac{1}{sin x}-\frac{1}{ln(1+x)})$ , který po mě chtěl nedávno jeden žák, který jsme rozebírali, tam ale bylo lepší využít ještě krok $\lim_{x\to0}\frac{ln(1+x)-sinx}{x^{2}}$ a uvědomit si Tay rozvoj v čitateli.
L'Hospitala jsem nedoporučila, příjde mi to složitější , musí se to udělat dvakrát,mám na mysli aplikaci LHospitala na originálně zadanou limitu po úpravě na zlomek

Jeremy1337 · 25. 02. 2020 21:45

Ahoj! Doporučuji použít L'Hospitalovo pravidlo. Pokud to zderivuješ správně, tak ti vyjde 6.

mulder · 25. 02. 2020 21:48

↑ Jeremy1337:Nevím, zda ve třetím ročníku na střední škole znají Hospitalovo pravidlo a umí derivovat

Jeremy1337 · 25. 02. 2020 22:10

↑ mulder: ah, my se učili derivovat až ve 4ťáku, pardon. Rozdělit na dvě limity, jednu lehce spočítáš a druhou rozšířit.

surovec · 25. 02. 2020 22:38

↑ krakonoš:
Nerozumím, co tím chceš říct. Tebou uvedená limita by se opět snadno řešila rozdělením na dva zlomky. Pokud je ten logaritmus myšlen jako přirozený, pak se samozřejmě nule rovná. Pokud je tím myšlen dekadický, snadno se to převede na přirozený a dopočítá...
Mimochodem, jak bys zadanou limitu řešila bez rozdělení na dva zlomky (a samozřejmě bez l'Hospitala)?

krakonoš

↑ surovec:
Třeba $\lim_{x\to0}\frac{\frac{5x+sin7x}{7x}}{\frac{2x}{7x}}$
$=\frac{7}{2}\cdot \lim_{y\to0}\frac{\frac{5}{7}y+siny}{y}$
$=\frac{7}{2}\lim_{y\to0}\frac{\frac{5}{7}y+y}{y}=6$
sin y se na okolí nuly chová jako y, nebo lze si napsat pro tuto fci Taylorovu řadu na okolí nuly.
Je fakt,že u limity typu [ln(1+x)-sinx]/x pro x jdoucí k nule by to rozdělení nevadilo, když si třeba uvědomím jistou rovnocennost funkcí, případně jejich Taylory, tak na to kašlu a klidně to rozdělím, ale u zkoušky by byly kecy.

surovec · 25. 02. 2020 23:46

↑ krakonoš:
No, to je zajímavá úprava, ale je to v podstatě úplně to samé, jen více nepřehledné...

krakonoš · 25. 02. 2020 23:47

↑ surovec:
K rozdělení zlomků nedochází, to jsi chtěl

surovec · 26. 02. 2020 00:30

↑ krakonoš:
To sis mohla rovnou hned na začátku říct, že $\sin 7x$ se na okolí $0$ chová jako $7x$ a psát $\lim_{x \to 0} \frac{5x+7x}{2x}=6$ ...

krakonoš · 26. 02. 2020 01:02

↑ surovec:
Já vím,takhle to i běžně dělám, chtěla jsem jen aby to bylo trochu názornější.

Pomeranc · 26. 02. 2020 01:15

↑ krakonoš:

Veškerý potřebný formalizmus vzal za své :(

surovec · 26. 02. 2020 08:28

↑ Pomeranc:
:)

krakonoš · 26. 02. 2020 11:56

↑ surovec:
Tady je pochopitelně jedno jestli využíváš limity sin x/x nebo sin7x/7x.Důležité je, abys věděl proč tomu tak je. Na druhou stranu spočítat limitu (5/7 y + sin y)/y s pomocí Taylorovy řady mi příjde názornější než u té zadané.Nemusíš derivovat vnitřní funkci. V tomto případě to sice časově vyjde nastejno, u složitějších příkladů tomu tak být nemusí.

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2020 19:26

Limita

#2 25. 02. 2020 19:43

Re: Limita

#3 25. 02. 2020 19:45 — Editoval krakonoš (25. 02. 2020 20:13)

Re: Limita

#4 25. 02. 2020 21:13

Re: Limita

#5 25. 02. 2020 21:21 — Editoval krakonoš (26. 02. 2020 01:36)

Re: Limita

#6 25. 02. 2020 21:45

Re: Limita

#7 25. 02. 2020 21:48

Re: Limita

#8 25. 02. 2020 22:10

Re: Limita

#9 25. 02. 2020 22:38

Re: Limita

#10 25. 02. 2020 23:28 — Editoval krakonoš (25. 02. 2020 23:46)

Re: Limita

#11 25. 02. 2020 23:46

Re: Limita

#12 25. 02. 2020 23:47

Re: Limita

#13 26. 02. 2020 00:30

Re: Limita

#14 26. 02. 2020 01:02

Re: Limita

#15 26. 02. 2020 01:15

Re: Limita

#16 26. 02. 2020 08:28

Re: Limita

#17 26. 02. 2020 11:56

Re: Limita

Zápatí